平面向量的综合应用
共1136题

· 平面向量的综合应用

平面向量的综合应用
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题型：简答题

简答题

已知=(1，sin2x)，=(cos2x，)，f(x)=•．锐角△ABC的三内角A、B、C对应的三边分别为a、b、c．满足：f（A）=1．

（1）求角A；

（2）若a=2，△ABC的面积为，求边b、c的值．

正确答案

（1）因为=(1，sin2x)，=(cos2x，)，

所以f(x)=•=cos2x-sin2x，

即f(x)=2sin(2x+)，

∵f（A）=1．

∴2A+∈(，)，

∴A=（6分）

（2）a=2，△ABC的面积为，

由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA，可得4=b2+c2-bc，

bcsinA=，所以bc=4，

解得b=c=2（12分）

题型：简答题

简答题

已知△ABC的面积S=(b2+c2-a2)其中a，b，c分别为角A，B，C所对的边

（1）求角A的大小．

（2）若a=2，求•的最大值．

正确答案

（1）由三角形面积公式可知S=bcsinA，

∵S=(b2+c2-a2)，

∴bcsinA=(b2+c2-a2)

由余弦定理可知2bccosA=b2+c2-a2

∴sinA=cosA，即tana=1，

又由A是三角形内角

∴A=45°

（2）∵由余弦定理可知2bccosA=b2+c2-a2，a=2，

即bc=b2+c2-4≥2bc-4

∴（2-）bc≤4

∴bc≤=4+2

∴•=||•||cosA=bc≤2+2

故•的最大值为2+2

题型：简答题

简答题

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，=（sinA，sin B），=（cosB，cos A），•=-sin 2C．

（1）求角C的大小；

（2）若c=2，A=，求△ABC的面积S．

正确答案

（1）由题意，sinAcosB+sinBcosA=-sin 2C

∴sin（A+B）=-sin2C，∴sinC=-2sinCcosC

∵0＜C＜π，∴cosC=-，∴C=；

（2）∵C=，A=，∴B=

由正弦定理可得=，∴b=2

∴△ABC的面积S=bcsinA=×2×2×sin=．

题型：简答题

简答题

在锐角△ABC中，A、B、C三内角所对的边分别为a、b、c．设=(cosA，sinA)，=(cosA，-sinA)，a=，且•=-

（Ⅰ）若b=3，求△ABC的面积；

（Ⅱ）求b+c的最大值．

正确答案

（Ⅰ）由•=-得cos2A-sin2A=-

即cos2A=-，∵0＜A＜0＜2A＜π∴2A=，A=

由a2=b2+c2-2bccosA

得c2-3c+2=0∴c=1或2∵c=1时，cosB＜0，∴c=1舍去，

∴c=2∴S=b•c•sinA=×3×2×sin=．

（Ⅱ）a2=b2+c2-2bccosA∴b2+c2-bc=7

(b+c)2=3bc+7≤3()2+7∴(b+c)2≤28b+c≤2

当且仅当时b=c取等号∴(b+c)max=2．

题型：简答题

简答题

△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知向量=(a，btanA)，=(b，atanB)．

（1）若∥，试判断△ABC的形状；

（2）若⊥，且a=2，b=2，求△ABC的面积．

正确答案

（1）由∥，知a2tanB=b2tanA，即a2sinBcosA=b2sinAcosB，

利用正弦定理化简得：sinAcosA=sinBcosB，即sin2A=sin2B，

又A，B∈（0，π），0＜A+B＜π，

∴2A=2B，或2A+2B=π，即A=B或A+B=，

则△ABC为等腰三角形或直角三角形；

（2）由⊥，知ab+abtanAtanB=0，即tanAtanB=-1，

∴cosAcosB+sinAsinB=0，即cos（A-B）=0，

又A，B∈（0，π），a=2，b=2，

∴A＞B，

∴A-B=，

在△ABC中，由正弦定理得：===，

∴tanB=，又B∈（0，π），

∴B=，

∴A=B+=，C=，

则S=absinC=×2×2×=．

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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