平面向量的综合应用
共1136题

· 平面向量的综合应用

平面向量的综合应用
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题型：简答题

简答题

A，B，C是△ABC的内角，a，b，c分别是其对边，已知=(2sinB，-)，=(cos2B，2cos2-1)，且∥，B为锐角，

（1）求B的大小；

（2）如果b=3，求△ABC的面积的最大值．

正确答案

（1）∵∥，∴2sinB(2cos2-1)-cos2B(-)=0，化为sin2B+cos2B=0，

∴2sin(2B+)=0，即sin(2B+)=0．

∵0＜B＜，∴＜2B+＜，∴2B+=π，解得B=．

（2）由余弦定理可得32=a2+b2-2accos，

∴9=a2+b2-ac≥2ac-ac=ac，即ac≤9，

∴S△=acsin=ac≤×9=．

即△ABC的面积的最大值为．

题型：简答题

简答题

设0＜α＜π＜β＜2π，向量=(1，-2)，=(2cosα，sinα)，=(sinβ，2cosβ)，=(cosβ，-2sinβ)．

（1）若⊥，求α；

（2）若|+|=，求sinβ+cosβ的值；

（3）若tanαtanβ=4，求证：∥．

正确答案

（1）若⊥，则 •=2cosα-2sinα=0，∴tanα=1．再由0＜α＜π＜β＜2π，可得α=．

（2）由题意可得 +=（sinβ+cosβ，2cosβ-2sinβ），

∴|+|===，∴sinβcosβ=．

结合0＜α＜π＜β＜2π，可得β为第三象限角，故 sinβ+cosβ＜0．

∴sinβ+cosβ=-=-=-．

（3）若tanαtanβ=4，则有 •=4，∴sinαsinβ=4cosαcosβ，∴=，

故与的坐标对应成比例，故∥．

题型：简答题

简答题

已知向量=(sinx，1)，=(cosx，-)．

（1）当⊥时，求|+|的值；

（2）求函数f(x)=•(2-)+cos2x的最大值，并求出f（x）取得最大值时x的集合．

正确答案

（1）当⊥时，•=0，

则|+|===；

（2）f（x）=2•-

2+cos2x=2sinxcosx-1-sin2x-1+cos2x

=sin2x+cos2x-2=sin(2x+)-2，

∴当sin(2x+)=1⇒2x+=+2kπ⇒x=+kπ（k∈Z）时，f（x）取得最大值-2，

此时x的集合是{x|x=+kπ，k∈Z}．

题型：简答题

简答题

已知f（x）=4sincos-4sin2+2．

（1）化简f（x）并求函数的周期

（2）在三角形ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，对定义域内任意x，有f（x）≤f（A），若a=，求•的最大值．

正确答案

（1）∵f（x）=2sinx-2(2sin2-1)

=2sinx+2cosx=4sin（x+）（3分）

∴T=2π（5分）

（2）∵∀x∈R，有f（x）≤f（A）

∴f（A）为f（x）为最大值

∴f（A）=4即sin（A+）=1

∴0＜A＜π

∴A+=，A=（8分）

∵•=bccosA=bc

又∵a2=b2+c2-2bccosA，a=

∴3=b2+c2-bc≥bc（当b=c时取等号）（10分）

∴bc≤3

∴•的最大值，此时b=c=（12分）

题型：简答题

简答题

已知向量=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），|-|=．

（1）求cos（α-β）的值；

（2）若0＜α＜，-＜β＜0，且sinβ=-，求sinα的值．

正确答案

（1）∵=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），|

∴-=（cos α-cos β，sin α-sin β ）．

∴|-|2=（cos α-cos β）2+（sin α-sin β ）2=2-2cos（α-β）=，

∴cos（α-β）=．

（2）∵0＜α＜，-＜β＜0，且sinβ=-，

∴cosβ=，且0＜α-β＜π．

又∵cos（α-β）=，∴sin（α-β）=，

∴sinα=sin（α-β+β）=sin（α-β）cosβ+cos（α-β）•sin β=×+×（-）=．

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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