热门试卷

压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程。

（1）依题意，可知=2，易知c=a，从而可求双曲线E的离心率；

（2）由（1）知，双曲线E的方程为﹣=1，设直线l与x轴相交于点C，分l⊥x轴与直线l不与x轴垂直讨论，当l⊥x轴时，易求双曲线E的方程为﹣=1.当直线l不与x轴垂直时，设直线l的方程为y=kx+m，与双曲线E的方程联立，利用由S△OAB=|OC|•|y1﹣y2|=8可证得：双曲线E的方程为﹣=1，从而可得答案。

（1）令f′（x）＝＜0，考虑到f（x）的定义域为（0，＋∞），故a＞0，进而解得x＞a－1，即f（x）在（a－1，＋∞）上是单调减函数，同理，f（x）在（0，a－1）上是单调增函数，由于f（x）在（1，＋∞）上是单调减函数，故（1，＋∞）（a－1，＋∞），从而a－1≤1，即a≥1.令g′（x）＝ex－a＝0，得x＝ln a，当x＜ln a时，g′（x）＜0；当x＞ln a时，g′（x）＞0.又g（x）在（1，＋∞）上有最小值，所以ln a＞1，即a＞e.

综上，有a∈（e，＋∞）。

（2）当a≤0时，g（x）必为单调增函数；当a＞0时，令g′（x）＝ex－a＞0，解得a＜ex，即x＞ln a.

因为g（x）在（－1，＋∞）上是单调增函数，类似（1）有ln a≤－1，即0＜a≤e－1.

结合上述两种情况，有a≤e－1.

①当a＝0时，由f（1）＝0以及f′（x）＝＞0，得f（x）存在唯一的零点；

②当a＜0时，由于f（ea）＝a－aea＝a（1－ea）＜0，f（1）＝－a＞0，且函数f（x）在[ea,1]上的图象不间断，所以f（x）在（ea,1）上存在零点。

另外，当x＞0时，f′（x）＝－a＞0，故f（x）在（0，＋∞）上是单调增函数，所以f（x）只有一个零点。

③当0＜a≤e－1时，令f′（x）＝－a＝0，解得x＝a－1.当0＜x＜a－1时，f′（x）＞0，当x＞a－1时，f′（x）＜0，所以，x＝a－1是f（x）的最大值点，且最大值为f（a－1）＝－ln a－1.

当－ln a－1＝0，即a＝e－1时，f（x）有一个零点x＝e.

当－ln a－1＞0，即0＜a＜e－1时，f（x）有两个零点。

实际上，对于0＜a＜e－1，由于f（e－1）＝－1－ae－1＜0，f（a－1）＞0，且函数f（x）在[e－1，a－1]上的图象不间断，所以f（x）在（e－1，a－1）上存在零点。

另外，当x∈（0，a－1）时，f′（x）＝－a＞0，故f（x）在（0，a－1）上是单调增函数，所以f（x）在（0，a－1）上只有一个零点。

下面考虑f（x）在（a－1，＋∞）上的情况，先证f（ea－1）＝a（a－2－ea－1）＜0.

为此，我们要证明：当x＞e时，ex＞x2.设h（x）＝ex－x2，则h′（x）＝ex－2x，再设l（x）＝h′（x）＝ex－2x，则l′（x）＝ex－2.

当x＞1时，l′（x）＝ex－2＞e－2＞0，所以l（x）＝h′（x）在（1，＋∞）上是单调增函数，故当x＞2时，h′（x）＝ex－2x＞h′（2）＝e2－4＞0，

从而h（x）在（2，＋∞）上是单调增函数，进而当x＞e时，

h（x）＝ex－x2＞h（e）＝ee－e2＞0.即当x＞e时，ex＞x2.

当0＜a＜e－1，即a－1＞e时，f（ea－1）＝a－1－aea－1＝a（a－2－ea－1）＜0，又f（a－1）＞0，且函数f（x）在[a－1，ea－1]上的图象不间断，所以f（x）在（a－1，ea－1）上存在零点，又当x＞a－1时，f′（x）＝－a＜0，故f（x）在（a－1，＋∞）上是单调减函数，所以f（x）在（a－1，＋∞）上只有一个零点。

综合①，②，③，当a≤0或a＝e－1时，f（x）的零点个数为1，

当 0＜a＜e－1时，f（x）的零点个数为2.