平面向量的实际背景及基本概念
共357题

平面向量的实际背景及基本概念
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题型：填空题

填空题

设点为三角形ABC的外心，则．

正确答案

试题分析：出边AB，AC的垂线，利用向量的运算将用表示，利用向量的数量积的几何意义将向量的数量积表示成一个向量与另个向量的投影的乘积．解：过O作OS⊥AB，OT⊥AC垂足分别为S，T 则S，T分别是AB，AC的中点，则 =

点评：本题考查向量的运算法则、向量数量积的几何意义．

题型：简答题

简答题

已知a是以点A(3,-1)为起点，且与向量b= (-3,4)平行的单位向量，则向量a的终点坐标是多少？

正确答案

(,-)或(,-)

【错解分析】本题易错点常表现在不能正确把握单位向量的概念，从而无法解答，同时解答过程中如果不能正确转换平行条件，也是无法解答此题的。

【正解】方法一设向量a的终点坐标是(x,y),则a=(x-3,y+1)，则题意可知

，故填 (,-)或(,-)

方法二　与向量b= (-3,4)平行的单位向量是±(-3,4)，

故可得a＝±(-,)，从而向量a的终点坐标是(x,y)=a-(3,-1),便可得结果。

【点评】①向量的概念较多，且容易混淆，在学习中要分清、理解各概念的实质，注意区分共线向量、平行向量、同向向量、反向向量、单位向量等概念。

②与a平行的单位向量e=±

题型：简答题

简答题

已知的三个内角A、B、C所对的三边分别是a、b、c，平面向量，平面向量

（I）如果求a的值；

（II）若请判断的形状．

正确答案

（I）（II）是直角三角形或等腰三角形.

由题意列余弦定理及面积公式两个方程，联立解得a,b;

若进而化简求证。

解：（I）由余弦定理及已知条件得

联立方程组得…………5分

（II）化简得……7分

当此时是直角三角形；

当，由正弦定理得

此时为等腰三角形.是直角三角形或等腰三角形.

题型：填空题

填空题

已知点为所在平面上的一点，且，其中为实数，若点落在的内部，则的取值范围是．

正确答案

．

试题分析：如图，取靠近的三等分点，过作的平行线交于，过作的平行线交于，由平行线等分线段定理得因此，若则从而与，在边上；若则在的延长线上，即落在外．故要使点落在的内部，则．

题型：填空题

填空题

已知下列命题：①；②若向量按向量平移后的坐标仍是（－3，4）；③“向量的方向相反”是“互为相反向量”的充分不必要条件；④已知点M是△ABC的重心，则。

其中正确命题的序号是__________.

正确答案

②④

①错②对 ③错 ④对

题型：填空题

填空题

已知平面向量a＝(1，1)，b＝(1，－1)，则向量a－b＝ .

正确答案

(－1，2)

略

题型：填空题

填空题

已知点A(－1,5)和向量,则点B的坐标为.

正确答案

（5,14）

试题分析：设B（m，n），

∵点A（-1，5），∴=（m+1，n-5），

∵由已知得，

∴m+1=6且n-5=9，解之得m=5，n=14．

即点B的坐标为（5，14）

故答案为：（5，14）.

题型：填空题

填空题

如图,在空间四边形中,已知是线段的中点,是的中点,若分别记为,则用表示的结果为 .

正确答案

题型：填空题

填空题

已知为棱长为1的正方体内（含正方体表面）任意一点，则的最大值为

正确答案

以为原点，为轴正方向，建立空间直角坐标系。则。设，则，当即位于线段上时，取到最大值2

题型：简答题

简答题

如图所示，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且AN=2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM的值.

正确答案

AP∶PM=4∶1

方法一设e1=,e2=,

则=+=-3e2-e1，

=+=2e1+e2.

因为A、P、M和B、P、N分别共线，所以存在实数、，使==-3e2-e1，

==2e1+e2，∴=-=（+2）e1+（3+）e2，

另外=+=2e1+3e2，

，∴，

∴=,=,∴AP∶PM=4∶1.

方法二设=，

∵=（+）=+，

∴=+.

∵B、P、N三点共线，∴-=t(-),

∴=(1+t)-t

∴

∴+=1，=，∴AP∶PM=4∶1.

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