与圆有关的比例线段
共1078题

· 与圆有关的比例线段

与圆有关的比例线段
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题型：简答题

简答题

如图，△ABC为直角三角形，∠ABC=90°，以AB为直径的圆交AC与点E，点D是BC边的中点，连接OD交圆于点M，求证：

（1）O、B、D、E四点共圆；

（2）2DC2=DM•AC+DM•AB．

正确答案

解：（1）如图，连接BE，则BE⊥EC，

又D是BC的中点，所以DE=BD．

又OE=OB，OD=OD，

所以△ODE≌△ODB，

所以∠OBD=∠OED=90°．

故D，E，O，B四点共圆． …（5分）

（2）如图，延长DO交圆于点H，

∵DE2=DM•DH=DM•（DO+OH）=DM•DO+DM•OH，

∴DE2=DM•（AC）+DM，即2DE2=DM•AC+DM•AB，

∵DE==DC，∴2DC2=DM•AC+DM•AB．…（10分）

解析

解：（1）如图，连接BE，则BE⊥EC，

又D是BC的中点，所以DE=BD．

又OE=OB，OD=OD，

所以△ODE≌△ODB，

所以∠OBD=∠OED=90°．

故D，E，O，B四点共圆． …（5分）

（2）如图，延长DO交圆于点H，

∵DE2=DM•DH=DM•（DO+OH）=DM•DO+DM•OH，

∴DE2=DM•（AC）+DM，即2DE2=DM•AC+DM•AB，

∵DE==DC，∴2DC2=DM•AC+DM•AB．…（10分）

题型：填空题

填空题

（1）不等式|2x-1|-|x+2|≥1的解集______．

（2）方程ρ=cosθ与（t为参数）分别表示何种曲线______．

（3）如图，AB，CD是半径为a的圆O的两条弦，它们相交于AB的中点P，PD=，∠OAP=30°，则CP=______．

正确答案

圆，双曲线

解析

解：（1）在|2x-1|-|x+2|≥1中，

由2x-1=0，得x=；由x+2=0，得x=-2．

①当x＞时，原不等式等价于2x-1-x-2≥1，

∴x≥4．

②当-2时，原不等式等价于1-2x-x-2≥1，

∴-2≤x≤-．

③当x＜-2时，原不等式等价于1-2x+x+2≥1，

∴x＜-2．

综上所述，|2x-1|-|x+2|≥1的解集是．

故答案为：．

（2）∵ρ=cosθ，

∴ρ2=ρcosθ，

∴x2+y2-x=0，

故ρ=cosθ是圆．

∵（t为参数），

∴，，

∴x2-y2=4，

故（t为参数）是双曲线．

故答案为：圆，双曲线．

（3）如图，∵AB，CD是半径为a的圆O的两条弦，

它们相交于AB的中点P，PD=，∠OAP=30°，

∴∠OPA=90°，AP=BP=，

∵AP•BP=CP•DP，

∴==．

故答案为：．

题型：简答题

简答题

过以AB为直径的圆上C点作直线交圆于E点，交AB延长线于D点，过C点作圆的切线交AD于F点，交AE延长线于G点，且GA=GF．

（Ⅰ）求证CA=CD；

（Ⅱ）设H为AD的中点，求证BH•BA=BF•BD．

正确答案

（I）解：∵GF是圆的切线，∴∠CGE=∠GAC，

又∵∠CGE=∠DCF，

∴∠DCF=∠GAC．

∵GA=GF，

∴∠GAF=∠AFG．

又∠GAF=∠GAC+∠CAF，∠AFG=∠D+∠DCF，

∴∠CAF=∠D．

∴CA=CD．

（II）证明：连接CH，CB．

∵CA=CB，AB=BD．

∴CH⊥AD．

由AB为圆的直径，∴∠ACB=90°，

∴CB2=BH•BA．

∵∠BCF=∠CAB=∠D，

∴△BCF∽△BDC．

∴，

∴BC2=BF•BD，

∴BH•BA=BF•BD．

解析

（I）解：∵GF是圆的切线，∴∠CGE=∠GAC，

又∵∠CGE=∠DCF，

∴∠DCF=∠GAC．

∵GA=GF，

∴∠GAF=∠AFG．

又∠GAF=∠GAC+∠CAF，∠AFG=∠D+∠DCF，

∴∠CAF=∠D．

∴CA=CD．

（II）证明：连接CH，CB．

∵CA=CB，AB=BD．

∴CH⊥AD．

由AB为圆的直径，∴∠ACB=90°，

∴CB2=BH•BA．

∵∠BCF=∠CAB=∠D，

∴△BCF∽△BDC．

∴，

∴BC2=BF•BD，

∴BH•BA=BF•BD．

题型：填空题

填空题

如图，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D，过点C作BD的平行线与圆相交于点E，与AB相交于点F，AF=3，FB=1，EF=，则线段CD的长为______．

正确答案

解析

解：由相交弦定理得到AF•FB=EF•FC，即3×1=×FC，FC=2，在△ABD中AF：AB=FC：BD，即3：4=2：BD，BD=，

设DC=x，则AD=4x，再由切割线定理，BD2=CD•AD，即x•4x=（）2，x=

故答案为：

题型：简答题

简答题

如图，△ABC中，∠ACB=90°，D是AC上一点，以AD为直径作⊙O交AB于点G

（1）证明：B、C、D、G四点共圆

（2）过点C作⊙O的切线CP，切点为P，连接OP，作PH⊥AD于H，若CH=，OH=，求CD•CA的值．

正确答案

（1）证明：∵AD是直径，

∴∠AGD=90°，

∵∠BCA=90°，

∴∠AGD=∠BCA，

∴B、C、D、G四点共圆

（2）解：∵CP是⊙O的切线，CDA是⊙O的割线，

∴CP2=CD•CA，

∵∠CPO=90°，PH⊥AD，

∴CP2=CH•CO，

∵CH=，OH=，

∴CO=5，

∴CP2=CH•CO=16，

∴CD•CA=16．

解析

（1）证明：∵AD是直径，

∴∠AGD=90°，

∵∠BCA=90°，

∴∠AGD=∠BCA，

∴B、C、D、G四点共圆

（2）解：∵CP是⊙O的切线，CDA是⊙O的割线，

∴CP2=CD•CA，

∵∠CPO=90°，PH⊥AD，

∴CP2=CH•CO，

∵CH=，OH=，

∴CO=5，

∴CP2=CH•CO=16，

∴CD•CA=16．

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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