热门试卷

（1）证明：连接OA，OE，则

因为PA是圆O的切线，A为切点，

所以OA⊥PA，

因为过点P，A，D的圆与圆O交于点E，

所以OE⊥PE，

所以PE是圆O的切线；

（2）解：因为PA=，PB=1，

所以由切割线定理，可得3=1×PC，

所以PC=3，

所以BC=2，

所以圆O的半径r的最小值为1．

（Ⅰ）证明：设BC=2R，则PB=R，PC=3R，

∵PA为切线，由切割线定理得，PA2=PB•PC=3R2，

∴PA=R．

连接OA，PA⊥OA，

∴∠POA=60°．∠AOC=120°．

∴AC=R，∴PA=AC．

（Ⅱ） 解：连接OD，CD，

∵D为的中点，

∴，

而OC=OD，∠PCD=60°，

∵PB=1，

∴PC=3，CD=1，

由余弦定理得PD2=PC2+CD2-2PC•CDcos60°==7，

∴PD=，

再由切割线定理得，PA2=PE•PD，

∴．

∴PE=．

（1）证明：连接AE，BC，

∵∠AEC与∠MBC都为所对的圆周角，

∴∠AEC=∠MBC，又∠AME=∠BMC（对顶角相等），

∴△AME∽△CMB，

∴AM：CM=EM：MB，即AM•MB=EM•MC；

（2）解：如图，∵DC为⊙O的直径，

∴DE⊥EC，

∵DC=8，DE=，

∴EC==7，

设EM=x，由于M为OB的中点，

∴BM=2，AM=6，

∴AM•MB=x•（7-x），即6×2=x（7-x），

整理得：x2-7x+12=0，

解得：x1=3，x2=4，

∵EM＞MC，∴EM=4，

∵OE=EM=4，

∴△OEM为等腰三角形，

过E作EF⊥OM，垂足为F，则OF=OM=1，

∴EF==，

∴sin∠EOB=．

解：（1）∵⊙O中，AB弧等于BC弧，∴∠BAC=∠BCA，

又∵AE切于⊙O点A，∴∠EAB=∠BCA，

因此，∠EAB=∠BAC，即AB平分∠CAE；

（2）∵AE切于⊙O点A，∴∠EAB=∠BDA，

又∵∠AEB=∠DEA，

∴△AEB∽△DEA，可得，得AB•AE=AD•BE=，

∵∠EAB=∠ADE=30°，

∴△ABE的面积S=AB•AEsin∠EAB=××=．