- 与圆有关的比例线段
- 共1078题
（1）DE与半圆O相切吗？若相切，请给出证明；若不相切，请说明理由；
（2）若AD、AB的长是方程x2-10x+24=0的两个根，求直角边BC的长．
正确答案
（1）解：DE与半圆O相切
证明：连OD，OE，如图，
∵E是BC边上的中点，AB是半圆O的直径，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE∥AC，
∴∠1=∠3，∠2=∠A，而OD=OA，∠A=∠3
∴∠1=∠2，
又∵OD=OB，OE为公共边，
∴△OED≌△OEB，
∴∠ODE=∠OBE=90°．
∴DE与半圆O相切．
（2）解：∵AB为直径
∴∠ADB=∠ABC=90°，∠CAB=∠CAB，
∴△ABC∽△ADB．
∴
∵AD、AB的长是方程x2-10x+24=0的两个根
∴解方程x2-10x+24=0得x1=4，x2=6
∵AD＜AB
∴AD=4、AB=6，
∴AC=9，
在直角三角形ABC中，AB=6，AC=9
∴BC=
解析
（1）解：DE与半圆O相切
证明：连OD，OE，如图，
∵E是BC边上的中点，AB是半圆O的直径，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE∥AC，
∴∠1=∠3，∠2=∠A，而OD=OA，∠A=∠3
∴∠1=∠2，
又∵OD=OB，OE为公共边，
∴△OED≌△OEB，
∴∠ODE=∠OBE=90°．
∴DE与半圆O相切．
（2）解：∵AB为直径
∴∠ADB=∠ABC=90°，∠CAB=∠CAB，
∴△ABC∽△ADB．
∴
∵AD、AB的长是方程x2-10x+24=0的两个根
∴解方程x2-10x+24=0得x1=4，x2=6
∵AD＜AB
∴AD=4、AB=6，
∴AC=9，
在直角三角形ABC中，AB=6，AC=9
∴BC=
（Ⅰ）求证：DE 是☉O的切线；
（Ⅱ）若
正确答案
（Ⅰ）证明：连结OD，由圆的性质得∠ODA=∠OAD=∠DAC，
OD∥AE，又AE⊥DE，∴DE⊥OD，
又OD为半径，∴DE是⊙O切线．
（Ⅱ）解：过D作DH⊥AB于H，则有∠DOH=∠CAB，
cos∠DOH=cos∠CAB=
设OD=5x，则AB=10x，OH=2x，∴AH=7x，
∵∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，DE⊥AC，
DH⊥AB，交AB于H，
∴△AED≌AHD，∴AE=AH=7x，
又OD∥AE，∴△AEF∽△DOF，
∴
解析
（Ⅰ）证明：连结OD，由圆的性质得∠ODA=∠OAD=∠DAC，
OD∥AE，又AE⊥DE，∴DE⊥OD，
又OD为半径，∴DE是⊙O切线．
（Ⅱ）解：过D作DH⊥AB于H，则有∠DOH=∠CAB，
cos∠DOH=cos∠CAB=
设OD=5x，则AB=10x，OH=2x，∴AH=7x，
∵∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，DE⊥AC，
DH⊥AB，交AB于H，
∴△AED≌AHD，∴AE=AH=7x，
又OD∥AE，∴△AEF∽△DOF，
∴
正确答案
解析
解：在Rt△ABC中，斜边AB=12，直角边AC=6，∴
∵AB与⊙C相切与点D，连接CD，∴CD⊥AB．
∴S△ABC=
∴⊙C的半径长为
故答案为
1（1）．（几何证明选讲选做题）如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，
延长AB和DC相交于点P，若
（2）．（坐标系与参数方程选做题） 极坐标系中，A为曲线ρ2+2ρcosθ-3=0上
的动点，B为直线ρcosθ+ρsinθ-7=0的动点，则|AB|距离的最小值为______．
正确答案
解析
解：（1）∵四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P，
∴∠PBC=∠D，∠PCB=∠A，
∴△PBC∽△PDA，
设PB=x，PC=y，
∵
∴PA=2x，PD=3y，
由△PBC∽△PDA，得
∴
∴
故答案为：
（2）∵曲线ρ2+2ρcosθ-3=0的普通方程为x2+y2+2x-3=0，
∴曲线是圆心为（-1，0），半径为r=
∵直线ρcosθ+ρsinθ-7=0的普通方程为x+y-7=0，
∴圆心为（-1，0）到直线的距离d=
∴|AB|距离的最小值为4
故答案为：4
正确答案
解析
解：设CD=
∵AC与圆O相切于点A，∴AC⊥AB，AC2=CD•CE=
∴AD2=AC2+CD2=
∵CE∥AB，∴
故答案为
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