- 与圆有关的比例线段
- 共1078题
如图,PC切⊙O于点C,割线PAB经过圆心O,弦CD⊥AB于点E,PC=2,PB=4,则CD=______.
正确答案
2.4
解析
解:∵PC切⊙O于点C,割线PAB经过圆心O,PC=2,PB=4,
∴PC2=PA•PB,
∴PA=1,AB=3,
∴圆的半径r=1.5,
连接OC.
∵OC=1.5,OP=2.5,
∴sin∠P=0.6,
∴CE=1.2,
∴CD=2.4.
故答案为:2.4.
如图锐角三角形ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E,若△ABC面积S=
,求∠BAC的大小.
正确答案
解:∵△ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于E,
∴∠BAE=∠CAD,
∵∠AEB与∠ACB是同弧上的圆周角,
∴∠AEB=∠ACD,
∴△ABE∽△ADC,∴,即AB•AC=AD•AE,
∵S=AB•ACsin∠BAC,且S=
,
∴sin∠BAC=,
又∵∠BAC是三角形内角,
∴∠BAC=60°.
解析
解:∵△ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于E,
∴∠BAE=∠CAD,
∵∠AEB与∠ACB是同弧上的圆周角,
∴∠AEB=∠ACD,
∴△ABE∽△ADC,∴,即AB•AC=AD•AE,
∵S=AB•ACsin∠BAC,且S=
,
∴sin∠BAC=,
又∵∠BAC是三角形内角,
∴∠BAC=60°.
如图,PC切圆O于点C,割线PAB经过圆心O,PC=4,PB=8,则tan∠COP=______,△OBC的面积是______.
正确答案
解析
解:∵PC切圆O于点C,根据切割线定理即可得出PC2=PA•PB,∴42=8PA,解得PA=2.
设圆的半径为R,
则2+2R=8,解得R=3.
在Rt△OCP中,=
,
.
∵∠BOC+∠COP=π,∴sin∠BOC=sin(π-∠COP)=.
∴=
=
.
故答案分别为,
.
如图,⊙O的直径AB=6cm,P是延长线上的一点,过点P作⊙O的切线,切点为C,连结AC,若∠CAP=30°,则PC=______.
正确答案
3
解析
解:∵PC是⊙O的切线,切点为C,∴OC⊥PC,得∠OCP=90°
∵△AOC中,AO=CO=3cm,∠A=30°
∴∠ACO=30°,∠AOC=120°
得∠ACP=120°,∠P=180°-(∠ACP+∠A)=30°
由此可得∠A=∠P=30°,得AC=CP
△AOC中,=
,即
,得AC=3
∴CP=AC=3,即PC=3
故答案为:3
选修4-1:几何证明选讲
如图,△ABC内接于⊙O,AB是⊙O的直径,PA是过点A的直线,且∠PAC=∠ABC.
(1)求证:PA是⊙O的切线;
(2)如果弦CD交AB于点E,AC=8,CE:ED=6:5,AE:EB=2:3,求直径AB的长.
正确答案
(1)证明:AB为直径,∠ACB=90°,∴∠CAB+∠ABC=90°,
∵∠PAC=∠ABC,∴∠PAC+∠CAB=90°,
∴PA⊥AB,∵AB为直径,∴PA为圆的切线.
(2)设CE=6k,ED=5k,AE=2m,EB=3m,
∵AE•EB=CE•ED,∴6m2=30k2,得m=k.
连接DB,由△AEC∽△DEB,∴,∴BD=
.
连接AD,由△CEB∽△AED,得.
在Rt△ABC,Rt△ADB中,BC2=25m2-64,AD2=25m2-80,于是有,
解得m=2,∴AB=AE+EB=10.
解析
(1)证明:AB为直径,∠ACB=90°,∴∠CAB+∠ABC=90°,
∵∠PAC=∠ABC,∴∠PAC+∠CAB=90°,
∴PA⊥AB,∵AB为直径,∴PA为圆的切线.
(2)设CE=6k,ED=5k,AE=2m,EB=3m,
∵AE•EB=CE•ED,∴6m2=30k2,得m=k.
连接DB,由△AEC∽△DEB,∴,∴BD=
.
连接AD,由△CEB∽△AED,得.
在Rt△ABC,Rt△ADB中,BC2=25m2-64,AD2=25m2-80,于是有,
解得m=2,∴AB=AE+EB=10.
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