- 与圆有关的比例线段
- 共1078题
（1）求证：∠PEC=∠PDF；
（2）求PE•PF的值．
正确答案
∵∠CDB=∠CAB…（2分）
∠PEC=90°-∠CAB，…（3分）
∠PDF=90°-∠CDB…（4分）
∴∠PEC=∠PDF…（5分）
（2）解：由（1）得：∠PEC=∠PDF，
∴D，C，E，F四点共圆，…（7分）
∴PE•PF=PC•PD=PB•PA=1×5=5…（10分）
解析
∵∠CDB=∠CAB…（2分）
∠PEC=90°-∠CAB，…（3分）
∠PDF=90°-∠CDB…（4分）
∴∠PEC=∠PDF…（5分）
（2）解：由（1）得：∠PEC=∠PDF，
∴D，C，E，F四点共圆，…（7分）
∴PE•PF=PC•PD=PB•PA=1×5=5…（10分）
正确答案
125°
解析
解：连接OA，由于A是切点，故OA⊥MN
∵∠MAB=35°，
∴∠BAO=55°，
又MN与⊙O相切，切点为A，
又由弦切角定理，我们可得
∠AOB=70°
故∠B=55°
∴则∠D=125°
故答案为：125°
（1）求证：E、F、G、B四点共圆；
（2）若GF=2FA=4，求线段AC的长．
正确答案
（1）证明：如图，连结BG，
由AB为直径可知∠AGB=90°
又CD⊥AB，所以∠BEF=∠AGB=90°，
因此E、F、G、B四点共圆．
（2）解：连结BC，由E、F、G、B四点共圆，
所以AF•AG=AE•BA，
在Rt△ABC中，AC2=AE•BA，
由于GF=2FA=4，得AF=2，FG=4，即有AG=6，
所以AC2=2×6，
故AC=2
解析
（1）证明：如图，连结BG，
由AB为直径可知∠AGB=90°
又CD⊥AB，所以∠BEF=∠AGB=90°，
因此E、F、G、B四点共圆．
（2）解：连结BC，由E、F、G、B四点共圆，
所以AF•AG=AE•BA，
在Rt△ABC中，AC2=AE•BA，
由于GF=2FA=4，得AF=2，FG=4，即有AG=6，
所以AC2=2×6，
故AC=2
（1）求证：FA∥BE
（2）求证：
正确答案
证明：（1）在⊙O中，∵直径AB与FP交于点O，∴OA=OF
∴∠OAF=∠F，
∵∠B=∠F，∴∠OAF=∠B，
∴FA∥BE；
（2）∵AC为⊙O的切线，PA是弦，
∴∠PAC=∠F
∵∠C=∠C，
∴△APC∽△FAC，
∴
∴
∵AB=AC，
∴
解析
证明：（1）在⊙O中，∵直径AB与FP交于点O，∴OA=OF
∴∠OAF=∠F，
∵∠B=∠F，∴∠OAF=∠B，
∴FA∥BE；
（2）∵AC为⊙O的切线，PA是弦，
∴∠PAC=∠F
∵∠C=∠C，
∴△APC∽△FAC，
∴
∴
∵AB=AC，
∴
如图，直线AB过圆心O，交圆O于A，B两点，直线AF交圆O于F，（F不与B重合），直线l与圆O相切于点C，交AB的延长线于E，且与AF垂直，垂足为G，连接AC．
（Ⅰ）求证：∠BAC=∠CAG；
（Ⅱ）求证：AC2=AE•AF．
正确答案
（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
解：（Ⅰ）连接BC，∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠AGC=90°．…（2分）
∵CG切圆O于点C，∴∠GCA=∠ABC．…（4分）
∴∠BAC=∠CAG．…（5分）
（Ⅱ）连接CF，∵EC切圆O于点C，
∴∠ACE=∠AFC．…（6分）
又∵∠BAC=∠CAG，
∴△ACF∽△AEC，…（8分）
∴
∴AC2=AE•AF．…（10分）
解析
（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
解：（Ⅰ）连接BC，∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠AGC=90°．…（2分）
∵CG切圆O于点C，∴∠GCA=∠ABC．…（4分）
∴∠BAC=∠CAG．…（5分）
（Ⅱ）连接CF，∵EC切圆O于点C，
∴∠ACE=∠AFC．…（6分）
又∵∠BAC=∠CAG，
∴△ACF∽△AEC，…（8分）
∴
∴AC2=AE•AF．…（10分）
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