与圆有关的比例线段
共1078题

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与圆有关的比例线段
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题型：简答题

简答题

如图，以⊙O的直径BC为一边作等边△ABC，AB、AC交⊙O于点DE，求证：BD=DE=EC．

正确答案

证明：如图，连接OD、OE．

∵△ABC是等边三角形，

∴∠B=60°．

又∵OB=OD，

∴△OBD是等边三角形，

∴∠BOD=60°．

同理，△EOC是等边三角形，则∠EOC=60°．

∵BC是⊙O的直径，

∴∠DOE=180°-∠BOD-∠EOC=60°，

∴==，

∴BD=DE=EC．

解析

证明：如图，连接OD、OE．

∵△ABC是等边三角形，

∴∠B=60°．

又∵OB=OD，

∴△OBD是等边三角形，

∴∠BOD=60°．

同理，△EOC是等边三角形，则∠EOC=60°．

∵BC是⊙O的直径，

∴∠DOE=180°-∠BOD-∠EOC=60°，

∴==，

∴BD=DE=EC．

题型：简答题

简答题

如图所示，在四边形ABCP中，线段AP与BC的延长线交于点D，已知AB=AC且A，B，C，P四点共圆．

（1）求证：AC•DP=BD•PC

（2）若△ABC是面积为4的等边三角形，求AP•AD的值．

正确答案

（1）证明：因为点A，B，C，P四点共圆，所以∠ABC+∠APC=180°，

因为∠DPC+∠APC=180°，所以∠DPC=∠ABC，

因为∠D=∠D，所以△DPC∽△DBA，所以=，

因为AB=AC，所以=．即AC•DP=BD•PC …（5分）

（2）解：因为△ABC是面积为4的等边三角形，

所以AB=AC=4，

因为AB=AC，所以∠ACB=∠ABC，

又∠ACD+∠ACB=180°，所以∠ACD+∠ABC=180°．

由于∠ABC+∠APC=180°，所以∠ACD=∠APC，

又∠CAP=∠DAC，所以△APC∽△ACD，所以=，所以AP•AD=AC2=16．…（10分）

解析

（1）证明：因为点A，B，C，P四点共圆，所以∠ABC+∠APC=180°，

因为∠DPC+∠APC=180°，所以∠DPC=∠ABC，

因为∠D=∠D，所以△DPC∽△DBA，所以=，

因为AB=AC，所以=．即AC•DP=BD•PC …（5分）

（2）解：因为△ABC是面积为4的等边三角形，

所以AB=AC=4，

因为AB=AC，所以∠ACB=∠ABC，

又∠ACD+∠ACB=180°，所以∠ACD+∠ABC=180°．

由于∠ABC+∠APC=180°，所以∠ACD=∠APC，

又∠CAP=∠DAC，所以△APC∽△ACD，所以=，所以AP•AD=AC2=16．…（10分）

题型：填空题

填空题

（几何证明选讲选做题）如图，⊙O和⊙O‘都经过点A和点B，PQ切⊙O于点P，交⊙O'于Q、M，交AB的延长线于N，NM=1，MQ=3，则PN=______．

正确答案

解析

解：∵在⊙O‘中，NQ、NA是两条割线

∴NM•NQ=NB•NA

∵NM=1，MQ=3可得NQ=4

∴NB•NA=1×4=4

在⊙O中，NP切⊙O于点P

∴NP2=NB•NA=4⇒PN=2（舍负）

故答案为：2

题型：填空题

填空题

如图，过圆外一点P作圆的两条割线，分别交圆于点A，B，C，D，PA=2，AB=4，CD=1，且圆心O恰在BC上，则该圆的半径长为______．

正确答案

解析

解：由题意，△PAC∽△PDB，

∴，

∵PA=2，AB=4，CD=1，

∴PC=3，=，

设AC=x，BD=2x，则

∵BC是直径，

∴x2+16=4x2+1，

∴x=，

∴BC=，

∴圆的半径长为．

故答案为：．

题型：单选题

单选题

如图，AB是⊙O的直径，P在AB的延长线上，PC切⊙O于C，PC=，BP=1，则⊙O的半径为（　　）

正确答案

解析

解：连接OC，

∵PC切⊙O于C

∴∠OCP=90°，

设⊙O的半径是R，则OC=R，OP=R+1，PC=，

由勾股定理得：R2+3=（R+1）2，

解得：R=1，

故选：C．

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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