- 与圆有关的比例线段
- 共1078题
（Ⅰ）求∠PQM的大小；
（Ⅱ）若MN=3，求QM的长．
正确答案
解：（Ⅰ）∵MN=NP，∴∠NMP=∠NPM，
∵△MPR为等腰三角形，PM=PR，∴∠NMP=∠R
∵∠MPQ=60°，
∴∠PMR=∠R=30°，
∴∠PQM=∠MQN+∠NQP=∠MPN+∠NMP=60°；
（Ⅱ）∵MN=NP，
∴∠NPM=30°，
∵∠MPQ=60°，∴∠NPQ=90°，
∴PQ=3tan60°=3
∵MN=3，
∴MP=2×
∵∠MPQ=60°，
∴QM=3
解析
解：（Ⅰ）∵MN=NP，∴∠NMP=∠NPM，
∵△MPR为等腰三角形，PM=PR，∴∠NMP=∠R
∵∠MPQ=60°，
∴∠PMR=∠R=30°，
∴∠PQM=∠MQN+∠NQP=∠MPN+∠NMP=60°；
（Ⅱ）∵MN=NP，
∴∠NPM=30°，
∵∠MPQ=60°，∴∠NPQ=90°，
∴PQ=3tan60°=3
∵MN=3，
∴MP=2×
∵∠MPQ=60°，
∴QM=3
（Ⅰ）设EF中点为C1，求证：O，C1，B，P四点共圆；
（Ⅱ）求证：OG=OH．
正确答案
证明：（Ⅰ）∵过B作PB垂直于AB，并与CD延长线相交于点P，
过P作直线与⊙O分别交于E，F两点，EF中点为C1，
∴∠OC1P=∠PBO=90°，
∴O，P，C1，B四点共圆．…（3分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）∠OPC1=∠OBC1，
过F作FE1∥CD交AE于E1，交AB于D1，
连接D1C1，BC1，BF，
由D1F∥DC，知∠OPC1=∠D1FC1，
∴∠OBC1=∠D1FC1．
∴B，F，C1，D1，四点共圆．…（6分）
∴∠FBA=∠FC1D1=∠FEA，由此D1C1∥AE，…（8分）
∵C1是FE的中点，D1是FE1的中点，
∴
解析
证明：（Ⅰ）∵过B作PB垂直于AB，并与CD延长线相交于点P，
过P作直线与⊙O分别交于E，F两点，EF中点为C1，
∴∠OC1P=∠PBO=90°，
∴O，P，C1，B四点共圆．…（3分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）∠OPC1=∠OBC1，
过F作FE1∥CD交AE于E1，交AB于D1，
连接D1C1，BC1，BF，
由D1F∥DC，知∠OPC1=∠D1FC1，
∴∠OBC1=∠D1FC1．
∴B，F，C1，D1，四点共圆．…（6分）
∴∠FBA=∠FC1D1=∠FEA，由此D1C1∥AE，…（8分）
∵C1是FE的中点，D1是FE1的中点，
∴
正确答案
解析
解：
∵D为OC的中点，CE=2OC
∴CE=4CD⇒DE=3CD
设CD长为x，DE长为3x
根据相交弦定理，得AD•BD=ED•CD
∴3×2=x•3x=3x2⇒x2=2
∴x=
故答案为：
正确答案
解析
∴PB2=PD×PC，得（
解得CD=4，得PC=5，ED=CD-CE=3
∵∠PBD=∠PCB，∠BPD=∠CPB
∴△BPD∽△CPB，可得
设BD=x，则CB=
∵AE∥BD，得
∴GE=
平等四边形ABDE中，AE=BD=x，得AG=AE-GE=
由相交弦定理，得AG•GF=CG•BG，即
解得GF=
又∵AE•EF=CE•ED，AE=EF=x，CE=1且ED=3
∴x2=1×3=3，解之得x=
故答案为：
正确答案
解：∵圆O的直径AB=6，BC=3
∴∠BAC=30°，线段AC=3
又∵直线l为圆O的切线，
∴∠DCA=∠B=60°
∴AD=
故答案为：
解析
解：∵圆O的直径AB=6，BC=3
∴∠BAC=30°，线段AC=3
又∵直线l为圆O的切线，
∴∠DCA=∠B=60°
∴AD=
故答案为：
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