- 与圆有关的比例线段
- 共1078题
正确答案
解：∵AF是圆的切线，且AF=18，BC=15，
∴由切割线定理可得AF2=FB•FC，
∴182=FB（FB+15），
∴FB=12，
∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB，
∵AF是圆的切线，
∴∠FAB=∠ADB，
∴∠FAB=∠ABD，
∴AF∥BD，
∵AD∥FC，
∴四边形ADBF为平行四边形，
∴AD=FB=12，
∵∠ACF=∠ADB=∠F，
∴AC=AF=18，
∵
∴
∴AE=8．
故答案为：8．
解析
解：∵AF是圆的切线，且AF=18，BC=15，
∴由切割线定理可得AF2=FB•FC，
∴182=FB（FB+15），
∴FB=12，
∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB，
∵AF是圆的切线，
∴∠FAB=∠ADB，
∴∠FAB=∠ABD，
∴AF∥BD，
∵AD∥FC，
∴四边形ADBF为平行四边形，
∴AD=FB=12，
∵∠ACF=∠ADB=∠F，
∴AC=AF=18，
∵
∴
∴AE=8．
故答案为：8．
（1）求证：AT2=BT•AD；
（2）E、F是BC的三等分点，且DE=DF，求∠A．
正确答案
所以∠A=∠ATB，所以AB=BT．
又AT 2=AB⋅AD，所以AT 2=BT⋅AD．…（4分）
（2）解：取BC中点M，连接DM，TM．
由（1）知TC=TB，所以TM⊥BC．
因为DE=DF，M为EF的中点，所以DM⊥BC．
所以O，D，T三点共线，DT为⊙O的直径．
所以∠ABT=∠DBT=90°．
所以∠A=∠ATB=45°．…（10分）
解析
所以∠A=∠ATB，所以AB=BT．
又AT 2=AB⋅AD，所以AT 2=BT⋅AD．…（4分）
（2）解：取BC中点M，连接DM，TM．
由（1）知TC=TB，所以TM⊥BC．
因为DE=DF，M为EF的中点，所以DM⊥BC．
所以O，D，T三点共线，DT为⊙O的直径．
所以∠ABT=∠DBT=90°．
所以∠A=∠ATB=45°．…（10分）
正确答案
4
2
解析
解：如图所示，连接AD．
∵AB切圆O于点A，AC为圆O的直径，
∴∠BAC=90°，∠ADC=90°．
由射影定理可得AC2=CD•CB．
∵BD=5，AC=6，∴62=CD•（CD+5），
解得CD=4．
在Rt△ACD中，
在△ACE中，由余弦定理可得AE2=CE2+AC2-2CE•ACcos∠ACE
=
∴
正确答案
解析
解：设PB=x，则BC=2x．
根据切割线定理，得到PA2=PB•PC=3x2，
PA=
所以
故填：
正确答案
解析
解：设OP与⊙O相较于点E，并延长PO交⊙O于点F，由PA与圆O相切于A，
根据切割线定理可得PA2=PE•PF，∴PA2=（2-1）×（2+1），解得PA=
连接OA，则∠PAO=90°，
∵∠OAB+∠PAB=90°，∠OBC+∠OCA=90°，
∠OAC=∠OCB，∠ABP=∠OBC，
∴∠PAB=∠ABP．
∴PB=PA=
故答案分别为
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