与圆有关的比例线段
共1078题

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题型：简答题

简答题

选修4-1：几何证明选讲

如图，⊙O是△ABC的外接圆，D是的中点，BD交AC于E．

（Ⅰ）求证：CD2=DE•DB；

（Ⅱ）若CD=2，O到AC的距离为1，求⊙O的半径r．

正确答案

（I）证明：连接OD，OC，由已知D是弧AC的中点，可得∠ABD=∠CBD

∵∠ABD=∠ECD，∴∠CBD=∠ECD

∵∠BDC=∠EDC，∴△BCD∽△CED

∴，

∴CD2=DE•DB；

（II）解：∵D是弧AC的中点

∴OD⊥AC，设垂足为F

在直角△CFO中，OF=1，OC=r，CF=r2-1

在直角△CFD中，DC2=CF2+DF2∴（2）2=（r2-1）+（r-1）2

∴r2-r-6=0

∴（r-3）（r+2）=0

∴r=3

解析

（I）证明：连接OD，OC，由已知D是弧AC的中点，可得∠ABD=∠CBD

∵∠ABD=∠ECD，∴∠CBD=∠ECD

∵∠BDC=∠EDC，∴△BCD∽△CED

∴，

∴CD2=DE•DB；

（II）解：∵D是弧AC的中点

∴OD⊥AC，设垂足为F

在直角△CFO中，OF=1，OC=r，CF=r2-1

在直角△CFD中，DC2=CF2+DF2∴（2）2=（r2-1）+（r-1）2

∴r2-r-6=0

∴（r-3）（r+2）=0

∴r=3

题型：填空题

填空题

如图，已知△ABC内接于圆O，点D在OC的延长线上，AD是圆O的切线，若∠OAC=60°，AC=1，则AD的长为______．

正确答案

解析

解：∵OC=OA，∠OAC=60°，

∴△OAC是等边三角形，可得OA=AC=1，∠O=60°．

又∵AD与圆O相切于点A，∴OA⊥AD，

Rt△OAD中，tan∠O=，可得AD==．

故答案为：

题型：简答题

简答题

如图所示，半径为5的圆O的两条弦AD和BC相交于点P，OD⊥BC，P为AD的中点，BC=6，则弦AD的长度为______．

正确答案

解：连接OC，设DO交BC于点M，则MC=3，

由OC=5，∴．

∴MD=5-4=1．由P为AD的中点，可知OP⊥AD．

在RT△OPD中，PM2=OM•MD=4×1，

∴PM=2．∴PC=2+3，PB=3-2=1，

由相交弦定理可得PD2=PB•PC=1×5，∴．

∴．

故答案为2．

解析

解：连接OC，设DO交BC于点M，则MC=3，

由OC=5，∴．

∴MD=5-4=1．由P为AD的中点，可知OP⊥AD．

在RT△OPD中，PM2=OM•MD=4×1，

∴PM=2．∴PC=2+3，PB=3-2=1，

由相交弦定理可得PD2=PB•PC=1×5，∴．

∴．

故答案为2．

题型：填空题

填空题

如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，直线MN切⊙O于点C，BE∥MN交AC于点E．若AB=6，BC=4，则AE的长为______．

正确答案

解析

解：直线MN切⊙O于点C，∴∠MCB=∠BAC，

∵BE∥MN交AC于点E，∴∠MCB=∠EBC．

∴△ABC∽△BCE．

∴，∴==．

∴．

题型：填空题

填空题

如图，AC为⊙O的直径，弦BD⊥AC于点P，PC=2，PA=8，则cos∠ACB的值为 ______．

正确答案

解析

解：由射影定理得CD2=CP•CA=2×10，

∴，

则cos∠ACB

=sin∠A

=sin∠D

=．

故答案为：

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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