热门试卷

证明：∵PA，PB是圆O的两条切线，

∴△PAC∽△PNA，△PBC∽△PNB，

∴PA：PN=AC：AN，PB：PN=BC：BN，

∵PA=PB，

∴AC：AN=BC：BN，

∴BC：AC=BN：AN

又∵△AMC∽△NMB，△BMC∽△NMA，

∴BM：NM=BC：AN，MB：MC=NB：AC，

∴=，

∴=，

∴=．

（1）证明：连接OE，

∵AE切⊙O于点E，∴∠OEA=90°，∴∠OEC+∠CEA=90°，

∵OC=OE，∴∠OCE=∠OEC，

∵OC⊥DB于点O，∴∠OCE+∠CFO=90°．

故∠CEA=∠CFO=∠AFE，∴AF=AE，

又∵AE切⊙O于点E，∴AE2=AB•AD，

∴AF2=AB•AD；

（2）解：∵OB=2，OB=OF，

∴OF=2，

∵OC=2，

∴CF==4，

∵CF•FE=DF•FB=（2+2）（2-2）=8，

∴FE==2．

解：∵AE是圆的切线，∴∠ABC=∠CAE．

∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD=∠CAD，

从而∠ABC+∠BAD=∠CAE+∠CAD．

∵∠ADE=∠ABC+∠BAD，∠DAE=∠CAD+∠CAE，

∴∠ADE=∠DAE，得EA=ED．

∵AE是圆的切线，∴由切割线定理，得EA2=EC•EB．

结合EA=ED，得ED2=EC•EB．

证明：（Ⅰ）∵AE⊥BC，

∴∠BEF=∠AEC=90°           …2分

∵BC为直径，∴∠BDC=90°

∴∠FBE+∠ACE=90°，∠CAE+∠ACE=90°

∴∠FBE=∠CAE                …4分

∴△FBE∽△CAE；                 …5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，∴BE•EC=EF•EA                 …7分

连接BG和CG，∵BC是直径，∴∠BGC=90°，而AE⊥BC，

由射影定理得，GE2=BE•EC                               …9分

∴GE2=EF•EA．                                           …10分．