与圆有关的比例线段
共1078题

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题型：填空题

填空题

（选修4-1：几何证明选讲）

如图，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，点D在半径OC上的射影为E．若AB=3AD，则的值为______．

正确答案

解析

解：设圆O的半径OA=OB=OC=3x，

∵AB=3AD，

∴AD=2x，BD=4x，OD=x

又∵点C在直径AB上的射影为D，

在△ABC中，由射影定理得：CD2=AD•BD=8x2，

在△ODC中，由射影定理得：OD2=OE•OC=x2，CD2=CE•OC=8x2，

故==8

故答案为：8

题型：简答题

简答题

如图，△ABC为圆的内接三角形，BD为圆的弦，且BD∥AC．过点A作圆的切线与DB的延长线交于点E，AD与BC交于点F．若AB=AC，AE=6，BD=5．

（1）求证：四边形AEBC为平行四边形．

（2）求线段CF的长．

正确答案

（1）证明：∵AE与圆相切于点A，∴∠BAE=∠ACB，

∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠ABC=∠BAE，

∴AE∥BC，

∵BD∥AC，∴四边形ACBE为平行四边形．

（2）解：∵AE与圆相切于点A，

∴AE2=EB•（EB+BD），即62=EB•（EB+5），

解得EB=4，

根据（1）有AC=EB=4，BC=AE=6，

设CF=x，由BD∥AC，得，

∴，解得x=，

∴CF=．

解析

（1）证明：∵AE与圆相切于点A，∴∠BAE=∠ACB，

∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠ABC=∠BAE，

∴AE∥BC，

∵BD∥AC，∴四边形ACBE为平行四边形．

（2）解：∵AE与圆相切于点A，

∴AE2=EB•（EB+BD），即62=EB•（EB+5），

解得EB=4，

根据（1）有AC=EB=4，BC=AE=6，

设CF=x，由BD∥AC，得，

∴，解得x=，

∴CF=．

题型：填空题

填空题

选做题：请考生在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按所做的第一题评阅计分．

（1）（几何证明选讲选做题） PA与圆O切于A点，PCB为圆O的割线，且不过圆心O，已知∠BPA=30°，PA=2，PC=1，则圆O的半径等于______．

（2）（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，过点（）作圆ρ=4sinθ的切线，则切线的极坐标方程是______．

正确答案

ρcosθ=2

解析

解：（1）过O作OE⊥BC于E，连接OA，交AB于F

∵PA与圆O切于A点，

∴PA2=PC•PB，即（2）2=1•PB，得PB=12

∴AB=PB-PC=11，可得BE=BC=5.5

∵PA与圆O切于A点，

∴OA⊥PA，得Rt△PAF中，AF=PAtan30°=2，PF=2AF=4

∵Rt△OEF中，∠OFE=∠PFA=90°-30°=60°，EF=PB-BE-PF=2.5

∴OF==5，可得圆O的半径为R=OF+AF=7

（2）点A（）化成直角坐标为A（2，2），而圆C：ρ=4sinθ的直角坐标方程是x2+y2-4y=0

∵22+22-4×2=0

∴点A（2，2）适合圆C方程，得点A是圆C上的点

∵圆C的圆心为（0，2），得AC的斜率k==0，

∴过A与AC垂直的直线为x=2，即为过A点与圆C相切的直线

因此切线的极坐标方程是ρcosθ=2

故答案为：7 ρcosθ=2

题型：简答题

简答题

如图，四边形ABCD内接于⊙O，过点A作⊙O的切线EP交CB的延长于P，已知∠EAD=∠PCA，证明：

（1）AD=AB；

（2）DA2=DC•BP．

正确答案

证明：（1）连结BD，

∵四边形ABCD内接于⊙O，过点A作⊙O的切线EP交CB的延长于P，∠EAD=∠PCA，

∴∠EAD=∠ABD=∠PCA，

∴AD=AB．

（2）∵四边形ABCD内接于⊙O，过点A作⊙O的切线EP交CB的延长于P，∠EAD=∠PCA，

∴∠ADC=∠ABP，∠PAB=∠ACD，

∴△ACD∽△APB，

∴，又AD=AB，

∴DA2=DC•BP．

解析

证明：（1）连结BD，

∵四边形ABCD内接于⊙O，过点A作⊙O的切线EP交CB的延长于P，∠EAD=∠PCA，

∴∠EAD=∠ABD=∠PCA，

∴AD=AB．

（2）∵四边形ABCD内接于⊙O，过点A作⊙O的切线EP交CB的延长于P，∠EAD=∠PCA，

∴∠ADC=∠ABP，∠PAB=∠ACD，

∴△ACD∽△APB，

∴，又AD=AB，

∴DA2=DC•BP．

题型：简答题

简答题

如图，CB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，AP与CB的延长线交于点P，A为切点．若PA=10，PB=5，∠BAC的平分线AE与BC和⊙O分别交于点D、E，求AD•AE的值．

正确答案

解：连接CE，∵PA为⊙O的切线，

∴∠PAB=∠ACP，…（1分）

又∠P公用，∴△PAB∽△PCA．…（2分）

∴．…（3分）

∵PA为⊙O的切线，PBC是过点O的割线，

∴PA2=PB•PC．…（5分）

又∵PA=10，PB=5，∴PC=20，BC=15．…（6分）

由（ I）知，=，

∵BC是⊙O的直径，

∴∠CAB=90°．

∴AC2+AB2=BC2=225，

∴AC=6 ，AB=3 …（7分）

连接CE，则∠ABC=∠E，…（8分）

又∠CAE=∠EAB，

∴△ACE∽△ADB，

∴=…（9分）

∴AD•AE=AB•AC=3 ×6 =90．…（10分）

解析

解：连接CE，∵PA为⊙O的切线，

∴∠PAB=∠ACP，…（1分）

又∠P公用，∴△PAB∽△PCA．…（2分）

∴．…（3分）

∵PA为⊙O的切线，PBC是过点O的割线，

∴PA2=PB•PC．…（5分）

又∵PA=10，PB=5，∴PC=20，BC=15．…（6分）

由（ I）知，=，

∵BC是⊙O的直径，

∴∠CAB=90°．

∴AC2+AB2=BC2=225，

∴AC=6 ，AB=3 …（7分）

连接CE，则∠ABC=∠E，…（8分）

又∠CAE=∠EAB，

∴△ACE∽△ADB，

∴=…（9分）

∴AD•AE=AB•AC=3 ×6 =90．…（10分）

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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