热门试卷

解：（1）（4′）由题意知

略

解：

(1)当时，

1

+

0

-

0

+

增

极大值

减

极小值

增

∴………………………………………………………4分

(2) 当时，显然只有一个零点；

当时，在，递减；在递增，

则有三个零点。

当时，在，递增；在递减，

则只有一个零点。

当时，在R上是增函数，，∴只有一个零点。

当时，在，递减；在递增，

则只有一个零点。

综上所述：当时，只有一个零点；当时，有三个零点…12分

略

（1）4x-y-4=0（2）切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0

 （1）∵y′=x2,

∴在点P（2，4）处的切线的斜率k=y′|x=2="4.                " 3分

∴曲线在点P（2，4）处的切线方程为y-4=4(x-2),

即4x-y-4="0.                                              " 6分

（2）设曲线y=x3+与过点P（2，4）的切线相切于点

A(x0，x03+)，则切线的斜率

k=y′|=x02.                                            8分

∴切线方程为y-(x03+)=x02(x-x0),

即y=x02·x-x03+.                                        10分

∵点P（2，4）在切线上，∴4=2x02-x03+,

即x03-3x02+4=0,∴x03+x02-4x02+4=0,

∴x02 (x0+1)-4(x0+1)(x0-1)=0,

∴(x0+1)(x0-2)2=0,解得x0=-1或x0=2,

故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2="0.                    " 14分

（1）；

（2）方程无解，故二者没有公切线。

（3） (1 + 1×2) (1 + 2×3) ……（1 +2012×2013) 。

试题分析：（1）设，则     1分

由，时，        2分

在区间单调递减，在区间单调递增，         3分

所以取得最小值为，即        4分

（2）假设曲线有公切线，切点分别为和     5分

因为，所以分别以和为切线的切线方程为       6分

令即              8分

令所以由得显然，当时，，当时，，所以，        9分

所以方程无解，故二者没有公切线。         10分

（3）由（1）得对任意的x＞0都成立，

           11分

ln(1 + 1×2) + ln(1 + 2×3) + …+ln[1 + n (n + 1)]＞

=令=2012，      13分

则ln(1 + 1×2) + ln(1 + 2×3) + …+ln(1 + 2012×2013)  ＞2×2012-3=4021，

所以(1 + 1×2) (1 + 2×3) ……（1 +2012×2013)           14分

点评：典型题，本题属于导数应用中的基本问题，通过研究函数的单调性，明确了极值情况。涉及比较大小问题，通过构造函数，转化成了研究函数的单调性及最值。涉及对数函数，要特别注意函数的定义域。

点M到x轴的最短距离是+1

 设P（x0，y0），则y0=x,

∴过点P的切线斜率k=x0,

当x0=0时不合题意，∴x0≠0.

∴直线l的斜率kl=-=-,

∴直线l的方程为y-x=-(x-x0).

此式与y=x2联立消去y得

x2+x- x-2=0.

设Q（x1,y1）,M(x,y).∵M是PQ的中点，

∴,

消去x0，得y=x2++1(x≠0)就是所求的轨迹方程.由x≠0知x2＞0,

∴y=x2++1≥2+1=+1.

上式等号仅当x2=,即x=±时成立，

所以点M到x轴的最短距离是+1.

(1) (2) 0＜

试题分析：解： ∵

∴                             1分

∴，                   1分

（1）∵ 函数在处的切线方程为

∴                            2分

解得：.                              1分

（2）的定义域为＞          1分

∵在其定义域内单调递增

∴＞0在恒成立（允许个别点处等于零）

1分

∵＞0（＞0）即＞0

令，则其对称轴方程是.    

① 当即时，在区间上递增

∴在区间上有＞0，满足条件.  1分

② 当＞0即＞0时，在区间上递减，在区间上递增，则（＞0）   2分

解得：0＜                       1分

点评：主要是考查了导数的几何意义的运用，以及运用导数研究函数相等单调性和最值的运用，属于基础题。

解：（Ⅰ）当a=1时，对函数求导数，得21 [

令    列表讨论的变化情况：

所以，的极大值是，极小值是     7分

（Ⅱ）的图像是一条开口向上的抛物线，关于x=a对称.

若上是增函数，从而          

上的最小值是最大值是

由于是有          

由

所以           

若a>1,则不恒成立.

所以使恒成立的a的取值范围是  

略