导数及其应用_章节学习

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题型：填空题

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填空题

若函数在处取极值，则

正确答案

略

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题型：简答题

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简答题

已知函数.

（Ⅰ）当时，求函数的极值；

（Ⅱ）若函数的图象与x轴有三个不同的交点，求a的取值范围。

正确答案

解：（1）当时，∴。

令，得当时，，则在上单调递增；

当时，，则在上单调递减；当时，，则在上单调递增； ∴当时，取得极大值为

当时，取得极小值为。

（2）∵ ∴。

若，则在R上恒成立，则在R上单调递增；函数的图象与轴有且只有一个交点，不合题意。

若，则，有两个不相等的实根，不妨设为且

则

当x变化时，，的取值情况如下表：

∵，∴，

∴

同理，。∴

，令

此时的图象与x轴有三个不同的交点。综上所述，a的取值范围是

略

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题型：填空题

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填空题

曲线在点处的切线方程为 .

正确答案

略

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题型：填空题

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填空题

若曲线存在垂直于轴的切线，则实数的取值范围是。

正确答案

试题分析：∵，∴（x>0），由题意在x>0上有解，即=0有解，故a<0.

点评：函数在的导数值即是过点所作该函数所表示的曲线切线的斜率

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题型：填空题

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填空题

设曲线在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为,令，则的值为

正确答案

-2 ；

因为对y=xn+1（n∈N*）求导得y′=（n+1）xn，

令x=1得在点（1，1）处的切线的斜率k=n+1，

在点（1，1）处的切线方程为y-1=k（xn-1）=（n+1）（xn-1），

不妨设y=0，xn=，则所求的为-2.

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题型：简答题

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简答题

、设函数.

（Ⅰ）当时，求的极值；

（Ⅱ）当时，求的单调区间；

（Ⅲ）若对任意及，恒有

成立，求的取值范围.

正确答案

解：（Ⅰ）依题意，知的定义域为.

当时，，.

令，解得.……2分

当时，；当时， .

又，所以的极小值为，无极大值 .………4分

（Ⅱ）…………5分

当时，，令，得或，令，

得；…………6分，当时，得，令，得或，令，得；当时，.8分

综上所述，当时，的递减区间为；递增区间为.

当时，在单调递减.

当时，的递减区间为；递增区间为.…（9分）

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当时，在单调递减.

当时，取最大值；当时，取最小值.

所以

.……11分

因为恒成立，

所以，整理得.

又所以，又因为，得，

所以所以 .………14分

略

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题型：填空题

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填空题

利用定积分的几何意义,求

正确答案

略

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题型：简答题

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简答题

（本小题满分12分）

设函数

（1）当时，求的最大值；

（2）令，（），其图象上任意一点处切线的斜率≤恒成立，求实数的取值范围；

（3）当，，方程有唯一实数解，求正数的值．

正确答案

（3）因为方程有唯一实数解，

所以有唯一实数解，

设，

则．令，．

因为，，所以（舍去），

，

当时，，在（0，）上单调递减，

当时，，在（，+∞）单调递增

当时，=0，取最小值．（12′）

略

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题型：简答题

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简答题

（12分）

已知函数

（1）求函数＝的最大值；

（2）若，求证：

正确答案

略

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题型：简答题

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简答题

（满分12分）

已知曲线在第三象限

（1）求P0的坐标；

（2）若直线的方程。

正确答案

由 …………2分

由已知得

当 ………………4分

又∵点P0在第三象限，∴切点P0的坐标为（—1，—4） …………6分

（2） …………8分…………12分

略

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题型：填空题

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填空题

若连续且不恒等于的零的函数满足，试写出一个符合题意的函数

正确答案

当中实数为常数

逆用就可以得到答案的．当然，该问题可以给出多个答案的，如：

，等．

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题型：简答题

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简答题

试求过点且与曲线相切的直线方程．

正确答案

点不在曲线上，应先求切点．

设所求切线的切点为，

是曲线上的一点，．又过点的切线斜率为，

而所求切线过点和两点，

其斜率又应为．

，将它与联立得或

即切点分别为或．

于是当切点为（时，切线斜率，

相应切线方程为，即；

当切点为时，切线斜率，相应切线方程为，

即．

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题型：填空题

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填空题

若幂函数的图象经过点（4，2），则函数的单调递增区间为。

正确答案

（0，+）

略

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题型：简答题

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简答题

若一物体运动方程如下：求此物体在和时的瞬时速度．

正确答案

物体在和时的瞬时速度分别是6和0

当时，，

．

当时，，

．

所以，物体在和时的瞬时速度分别是6和0．

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题型：简答题

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简答题

在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf(x)=f(x+1)-f(x)。某公司每月最多生产100台报警系统装置，生产x台的收入函数为（单位：元），其成本函数为（单位：元），利润是收入与成本之差。

（1）求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x)；

（2）利润函数P(x)与边际利润函数MP(x)是否具有相等的最大值？

（3）你认为本题中边际利润函数MP(x)取最大值的实际意义是什么？

正确答案

(Ⅰ)

(Ⅱ) 不具有相等的最大值。（Ⅲ）略

（1）

（2）当x=62或63时，（元）网

又是减函数当x=1时，与不具有相等的最大值。

（3）边际利润函数当x=1时取最大值，说明生产第2台与生产第1台的总利润差最大，即第2台报警系统利润最大。是减函数，说明随着产量的增加，每台利润与前一台利润相比较，利润在减少。

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