导数及其应用_章节学习

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题型：填空题

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填空题

已知函数f（x）在R上满足f（x）=2f（2-x）-x2+8x-8，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是______．

正确答案

y=2x-1

解析

解：∵f（x）=2f（2-x）-x2+8x-8，

∴f（2-x）=2f（x）-（2-x）2+8（2-x）-8．

∴f（2-x）=2f（x）-x2+4x-4+16-8x-8．

将f（2-x）代入f（x）=2f（2-x）-x2+8x-8

得f（x）=4f（x）-2x2-8x+8-x2+8x-8．

∴f（x）=x2，f‘（x）=2x

∴y=f（x）在（1，f（1））处的切线斜率为y′=2．

∴函数y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y-1=2（x-1），

即y=2x-1．

答案y=2x-1

1

题型：简答题

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简答题

求正弦函数y=sinx在0到之间及到之间的平均变化率，并比较它们的大小．

正确答案

解：（1）∵正弦函数y=sinx，

∴△x=，△y=，

∴==，

（2）∵△x=-=，△y=sin-sin=1，

∴==，

∵6-3＜3，

∴

解析

解：（1）∵正弦函数y=sinx，

∴△x=，△y=，

∴==，

（2）∵△x=-=，△y=sin-sin=1，

∴==，

∵6-3＜3，

∴

1

题型：填空题

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填空题

直线y=4x+b是曲线y=x4-1的一条切线，则实数b的值为______．

正确答案

-4

解析

解：设切点为（x0，y0），而y=x4-1的导数为y=4x3，

在切点处的切线斜率为k=4x03=4⇒x0=1，

得切点为（1，0），所以实数b的值为-4．

故答案为：-4

1

题型：单选题

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单选题

下列函数中，增长速度最快的是（　　）

Ay=5x

By=x5

Cy=log5x

Dy=5x

正确答案

D

解析

解：选项A、B、C、D分别为正比例函数，幂函数，对数函数，指数函数；

故选D．

1

题型：填空题

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填空题

一质点做直线运动，它所经过的路程和时间的关系是s=3t2+t，则t=2时的瞬时速度为______．

正确答案

13

解析

解：s′=6t+1

∴s′（2）=6×2+1=13

∴t=2时的瞬时速度为13

故答案为13

1

题型：单选题

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单选题

函数y=f（x），自变量x由x0改变到x0+△x时，函数的改变量△y等于（　　）

Ay=f（x0+△x）

By=f（x0）+△x

Cy=f（x0）•△x

Dy=f（x0+△x）-f（x0）

正确答案

D

解析

解：∵自变量x由x0改变到x0+△x，

当x=x0，y=f（x0），

当x=x0+△x，y=f（x0+△x），

∴△y=f（x0+△x）-f（x0），

故选D．

1

题型：单选题

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单选题

已知函数f（x）的定义域为[-3，+∞），f（6）=1，其导函数的图象如图所示，若正数a，b满足f（2a+b）＜1，则的取值范围是（　　）

A

B（1，4）

C

D

正确答案

C

解析

解：由导函数图象，可知函数在（0，+∞）上为单调增函数

∵f（6）=1，正数a，b满足f（2a+b）＜1

∴0＜2a+b＜6，a＞0，b＞0

满足约束条件的平面区域如图．

又因为表示的是可行域中的点与（-2，-2）的连线的斜率．

所以当（-2，-2）与A（0，6）相连时斜率最大，为4，

当（-2，-2）与B（3，0）相连时斜率最小为，

故选C．

1

题型：单选题

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单选题

已知函数，则函数f（x）的图象上各点的瞬时变化率的最小值是（　　）

A

B

C

D

正确答案

B

解析

解：函数f（x）的图象上各点的瞬时变化率即为f′（x），

而f′（x）=x2-x-2=．

∴函数f（x）的图象上各点的瞬时变化率的最小值是．

故选B．

1

题型：单选题

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单选题

f（x）=sinx在x=0和x=两处的瞬时变化率为k1和k2，则k1+k2为（　　）

A-1

B1

C0

D无法确定

正确答案

B

解析

解：f′（x）=cosx，

∴f′（x）|x=0=cosx|x=0=1，

f′（x）|x==cosx|x==0，

则k1+k2为1．

故选B．

1

题型：单选题

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单选题

在曲线y=2x2-1的图象上取一点（1，1）及邻近一点（1+△x，1+△y），则等于（　　）

A4△x+2△x2

B4+2△x

C4△x+△x2

D4+△x

正确答案

B

解析

解：∵△y=2（1+△x）2-1-1=2△x2+4△x，

∴=4+2△x，

故选：B．

1

题型：单选题

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单选题

一个物体的运动方程为s=t2-2t-1其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（　　）

A4米/秒

B5米/秒

C6米/秒

D7米/秒

正确答案

A

解析

解：求导函数可得s′=2t-2

当t=3时，s′=2t-2=2×3-2=4

故选A．

1

题型：简答题

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简答题

在数学研究中，函数的变化率是研究的重点对象之一，定义为函数f（x）对实数x=a的平均定向增长率．已知某物体离开初始位置的距离f（x）与时间x的函数关系式为f（x）=求该物体离开初始位置的距离对x=2的平均定向增长率的最小值．

正确答案

解：∵f（x）=，

∴f（x）=12，

当x＞2时，对x=2的平均定向增长率g（x）==（x-2）+6，x＞2

∵（x-2）+6≥2+6=4+6，

∴当x＞2时，g（x）的最小值为4+6，

当x＜2时，对x=2的平均定向增长率g（x）==18-，x＜2，

18-＞18，

∴z最小值为4+6，

解析

解：∵f（x）=，

∴f（x）=12，

当x＞2时，对x=2的平均定向增长率g（x）==（x-2）+6，x＞2

∵（x-2）+6≥2+6=4+6，

∴当x＞2时，g（x）的最小值为4+6，

当x＜2时，对x=2的平均定向增长率g（x）==18-，x＜2，

18-＞18，

∴z最小值为4+6，

1

题型：单选题

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单选题

已知曲线y=2x2+1上的点P（2，9），则点P处的切线的斜率为（　　）

A4

B16

C8

D2

正确答案

C

解析

解：y‘=4x

∴k=y'|x=2=4×2=8，

故选：C

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题型：单选题

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单选题

y=2x+1在[1，2]内的平均变化率为（　　）

A3

B2

C1

D0

正确答案

B

解析

解：函数f（x）在区间[1，2]上的增量△y=f（2）-f（1）=2×2+1-3=2，

∴f（x）在区间[1，2]上的平均变化率为==2．

故选：B．

1

题型：填空题

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填空题

（文）如果质点A的位移S与时间t满足方程S=2t3（位移单位：米，时间单位：秒），则质点在t=3时的瞬时速度为______米/秒．

（理）已知△ABC的三个顶点为A（3，3，2），B（4，-3，7），C（0，5，1），M为边BC的中点，则=______．

正确答案

54

3

解析

解：（文）∵S=2t3

∴S′=6t2，

∴点在t=3时的瞬时速度为6×32=54

故答案为54

（理）∵B（4，-3，7），C（0，5，1），M为边BC的中点，

∴M（2，1，4）

又A（3，3，2），

∴=（1，2，-2）

∴==3

故答案为3

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