- 导数及其应用
- 共31591题
若曲线f（x）存在垂直于y轴的切线，且f′（x）=2x2+3-2a，求实数a的取值范围．
正确答案
解；∵曲线f（x）存在垂直于y轴的切线，
∴存在斜率为0的切线，
∵f′（x）=2x2+3-2a，
∴2x2+3-2a=0有根，
即△=2a-3≥0，
得出a
故实数a的取值范围：a
解析
解；∵曲线f（x）存在垂直于y轴的切线，
∴存在斜率为0的切线，
∵f′（x）=2x2+3-2a，
∴2x2+3-2a=0有根，
即△=2a-3≥0，
得出a
故实数a的取值范围：a
曲线y=x2在点P处的切线斜率为-3，则点P的坐标为（ ）
A（3，9）
B（-3，9）
C
D（
正确答案
解析
解：曲线y=x2在点P处的导数2x=-3，故切点P的横坐标为-
代入曲线的方程可得 y=
故点P的坐标为（-
故选 D．
已知直线y=x+1与曲线y=ln（x+a）相切，则α的值为（ ）
正确答案
解析
解：设切点P（x0，y0），则y0=x0+1，y0=ln（x0+a），
又∵
∴x0+a=1
∴y0=0，x0=-1
∴a=2．
故选项为B
y=-2x2+1在（0，1）处的平均变化率为______．
正确答案
-2
解析
解：函数y=f（x）=-2x2+1在（0，1）处的平均变化率为：
故答案为：-2．
若f（x），g（x）满足f′（x）=g′（x），则f（x）与g（x）满足（ ）
正确答案
解析
解：由f′（x）=g′（x），得f′（x）-g′（x）=0，
即[f（x）-g（x）]′=0，所以f（x）-g（x）=C（C为常数）．
故选B．
曲线y=
正确答案
解析
解：∵y=
在点（1，
S=
故答案为：
若函数f（x）在x0处的切线的斜率为k，则极限=
正确答案
-k
解析
解：∵函数f（x）在x0处的切线的斜率为k，∴k=
故
故答案为-k．
曲线y=4x-x2上两点A（4，0），B（2，4），若曲线上一点P处的切线恰好平行于弦AB，则点P的坐标为（ ）
正确答案
解析
解：设点P（x0，y0）
∵A（4，0），B（2，4）
∴kAB=
∵过点P的切线l平行于弦AB
∴kl=-2
∴根据导数的几何意义得知，曲线在点P的导数y′
∵点P（x0，y0）在曲线y=4x-x2上
∴y0=4x0-x02=3
∴故选B．
下列函数中，当自变量x变得很大时，随x的增大速度增大得最快的是（ ）
Ay=
By=100lnx
Cy=x100
Dy=100•2x
正确答案
解析
解：通过分析函数y=ax（a＞1）、y=logax（a＞1）和y=xα（α＞0）的图象，
可得当自变量x变得很大时，随x的增大速度增大得最快的是指数函数y=ax，
其次是y=xα，最慢的增大速度是对数函数y=logax；
又函数y=
∴函数y=
故选：A．
设曲线运动方程为s=
正确答案
解析
解：∵s=
∴s′=1+
∴t=2时，s′=1+
故答案为：
已知函数y=2x2+5的图象上一点（1，7）及其邻近一点（1+△x，7+△y），则
正确答案
4+2△x
解析
解：∵f（x）=2x2+5，
∴f（1）=7，
f（1+△x）=2（1+△x）2+5=7+4△x+2（△x）2，
∴△y=4△x+2（△x）2，
即
故答案为：4+2△x．
已知a＞0，函数f（x）=x3-a，x∈（0，+∞），设x1＞0，记曲线y=f（x）在点（x1，f（x1））处的切线为l，
（1）求l的方程；
（2）设l与x轴交点为（x2，0）证明：
①
②若
正确答案
解：（1）f（x）的导数f‘（x）=3x2，
由此得切线l的方程y-（x13-a）=3x12（x-x1）；
（2）①依题意，在切线方程中令y=0，
得
∴
②若
且由①
所以
解析
解：（1）f（x）的导数f‘（x）=3x2，
由此得切线l的方程y-（x13-a）=3x12（x-x1）；
（2）①依题意，在切线方程中令y=0，
得
∴
②若
且由①
所以
已知f（x）是可导的函数，且
正确答案
4x+y-10=0
解析
解：∵
∴曲线y=f（x）在点（2，2）处的切线的斜率为-4，
切线方程为y=-4x+10，化为一般式为4x+y-10=0
故答案为4x+y-10=0
已知二次函数f（x）=ax2+bx+c和“伪二次函数”g（x）=ax2+bx+clnx（abc≠0）．
（1）证明：只要a＜0，无论b取何值，函数g（x）在定义域内不可能总为增函数；
（2）在同一函数图象上任意取不同两点A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB中点为C（x0，y0），记直线AB的斜率为k，
①对于二次函数f（x）=ax2+bx+c，求证：k=f′（x0）；
②对于“伪二次函数”g（x）=ax2+bx+clnx，是否有①同样的性质？证明你的结论．
正确答案
解：（1）如果x＞0，g（x）为增函数，则
g′（x）=2ax+b+
∴2ax2+bx+c＞0（ii）恒成立
∵a＜0，由二次函数的性质，（ii）不可能恒成立
则函数g（x）不可能总为增函数．
（2）①对于二次函数：
k=
由f′（x）=2ax+b故f′（x0）=2ax0+b
即k=f′（x0）
（2）②
不妨设x2＞x1，对于伪二次函数g（x）=ax2+bx+clnx=f（x）+clnx-c，
k=
如果有①的性质，则g′（x0）=k
∴
即∴
令
设s（t）=lnt-
∴s（t）在（1，+∞）上递增，
∴s（t）＞s（1）=0
∴g′（x0）≠k∴“伪二次函数“g（x）=ax2+bx+clnx不具有①的性质．
解析
解：（1）如果x＞0，g（x）为增函数，则
g′（x）=2ax+b+
∴2ax2+bx+c＞0（ii）恒成立
∵a＜0，由二次函数的性质，（ii）不可能恒成立
则函数g（x）不可能总为增函数．
（2）①对于二次函数：
k=
由f′（x）=2ax+b故f′（x0）=2ax0+b
即k=f′（x0）
（2）②
不妨设x2＞x1，对于伪二次函数g（x）=ax2+bx+clnx=f（x）+clnx-c，
k=
如果有①的性质，则g′（x0）=k
∴
即∴
令
设s（t）=lnt-
∴s（t）在（1，+∞）上递增，
∴s（t）＞s（1）=0
∴g′（x0）≠k∴“伪二次函数“g（x）=ax2+bx+clnx不具有①的性质．
已知函数y=f（x）在区间（a，b）内可导，且x0∈（a，b）且
A-1
B
C2
D1
正确答案
解析
解：由题意，
根据导数的定义，可知f′（x0）=
∴f′（x0）=
故选B．
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