- 导数及其应用
- 共31591题
下面给出f（x）随x的增大而得到的函数值表：
试回答：
（1）随着x的增大，各函数的函数值有什么共同的变化趋势？
（2）各函数增长的快慢有什么不同？
（3）根据以上结论，体会银行的客户存款的年利率，一般不会高于10%的实际意义．
正确答案
解：（1）随着x的增大，各函数的函数值都在增大．
（2）各函数增长的快慢不同，其中f（x）=2x增长最快，而且越来越快；f（x）=log2x的增长最慢，而且增长的幅度越来越小．
（3）按复利计算，存款以指数函数增长，如果年利率设置太高，存款的增长越来越快，银行将难以承担利息支出．
解析
解：（1）随着x的增大，各函数的函数值都在增大．
（2）各函数增长的快慢不同，其中f（x）=2x增长最快，而且越来越快；f（x）=log2x的增长最慢，而且增长的幅度越来越小．
（3）按复利计算，存款以指数函数增长，如果年利率设置太高，存款的增长越来越快，银行将难以承担利息支出．
已知函数
（1）若l1⊥l2，|α-β|=1，求b，c；
（2）若α∈（-3，-2），β∈（0，1），求k1的取值范围．
正确答案
∵l1⊥l2，∴f'（-1）f'（1）=-1
即（2b+c+1）（-2b+c+1）=-1 ①
∵α，β是x2+2bx+c=0的两根
∴α+β=-2b，αβ=c．
又因为|α-β|=1，
∴|α-β|2=（α+β）2-4αβ=4b2-4c=1 ②
由①②得 c=1，b=
（2）∵f'（x）=x2+2bx+c，α∈（-3，-2），β∈（0，1）
∴
则点P（b，c）的取值范围如图中阴影部分所示，
∵k1=-2b+c+1，当直线l1过点A（1，0）时k1=-1，当直线l1过点C（1，-3）时，k1=-4，
∴k1的取值范围是（-4，-1）．（14分）
解析
∵l1⊥l2，∴f'（-1）f'（1）=-1
即（2b+c+1）（-2b+c+1）=-1 ①
∵α，β是x2+2bx+c=0的两根
∴α+β=-2b，αβ=c．
又因为|α-β|=1，
∴|α-β|2=（α+β）2-4αβ=4b2-4c=1 ②
由①②得 c=1，b=
（2）∵f'（x）=x2+2bx+c，α∈（-3，-2），β∈（0，1）
∴
则点P（b，c）的取值范围如图中阴影部分所示，
∵k1=-2b+c+1，当直线l1过点A（1，0）时k1=-1，当直线l1过点C（1，-3）时，k1=-4，
∴k1的取值范围是（-4，-1）．（14分）
若函数f（x）的导函数为f′（x）=-sinx，则函数图象在点（4，f（4））处的切线的倾斜角为（ ）
正确答案
解析
则曲线y=f（x）上点（4，f（4））处的切线的斜率k=tanα=-sin4，
结合正切函数的图象
由图可得α∈（0，
故选C．
若点P在曲线y=x3-3x2+（3-
A[0，
B[0，
C[
D[0，
正确答案
解析
解：∵函数的导数y′=3x2-6x+3-
∴tanα≥-
∴0≤α＜
故选 B．
航天飞机升空后一段时间内，第t s时的高度h（t）=5t3+30t2+45t+4，其中h的单位为m，t的单位为s．
（1）h（0），h（1），h（2）分别表示什么？
（2）求第2s内的平均速度；
（3）求第2s末的瞬时速度．
正确答案
解：（1）答：h（0）表示航天飞机发射前的高度；
h（1）表示航天飞机升空后1s的高度；
h（2）表示航天飞机升空后2s的高度；
（2）航天飞机升空后第2秒内的平均速度为
答：航天飞机升空后第2秒内的平均速度为125米/秒；
（3）航天飞机升空后在t=2时的位移增量与时间增量的比值为
v=
=
因此，第2s末的瞬时速度为225m/s．
答：航天飞机升空后第2秒末的瞬时速度为225米/秒．
解析
解：（1）答：h（0）表示航天飞机发射前的高度；
h（1）表示航天飞机升空后1s的高度；
h（2）表示航天飞机升空后2s的高度；
（2）航天飞机升空后第2秒内的平均速度为
答：航天飞机升空后第2秒内的平均速度为125米/秒；
（3）航天飞机升空后在t=2时的位移增量与时间增量的比值为
v=
=
因此，第2s末的瞬时速度为225m/s．
答：航天飞机升空后第2秒末的瞬时速度为225米/秒．
已知某质点的位移s与移动时间t满足s=sint，则质点在t=
正确答案
解析
解：∵质点的位移s与移动时间t满足s=sint，
∴s′=cost，
当t=
故质点在他t=
故答案为：
质点运动规律s=t2+3，则在时间（3，3+△t）中，相应的平均速度是（ ）
A6+△t
B6+△t+
C3+△t
D9+△t
正确答案
解析
解：平均速度为
故选A
若曲线
正确答案
解析
解：∵
∴
∴-1≤tanα≤1，又α∈[0，π），
解得
故α的取值范围是
质点M按规律s=2t2+3作直线运动，则质点M在t=1时的瞬时速度是（ ）
正确答案
解析
解：∵质点M按照规律s=2t2+3运动，
∴s′=4t，
当t=1时，
∴在t=1时的瞬时速度为s′=4×1=4；
故答案为：4．
物体作直线运动的方程s=t2+2t-3，求物体在t=2秒时的速度和加速度．
正确答案
解：由导数的物理意义：物体作直线运动的方程s=s（t）
则物体在t=t0时的即时速度v=s′（t0）
在t=t0时的加速度a=s″（t0）
∴v=s′（t）=2t+2
a=s″（t）=2
物体在t=2秒时的速度v=s′（2）=（2t+2）|t=2=6
加速度a=s″（t）=2|t=2=2
解析
解：由导数的物理意义：物体作直线运动的方程s=s（t）
则物体在t=t0时的即时速度v=s′（t0）
在t=t0时的加速度a=s″（t0）
∴v=s′（t）=2t+2
a=s″（t）=2
物体在t=2秒时的速度v=s′（2）=（2t+2）|t=2=6
加速度a=s″（t）=2|t=2=2
二次函数f（x）满足：f（0）=2，f（x）=f（-2-x），导函数的图象与直线
（1）求f（x）的解析式
（2）若函数g（x）=
正确答案
解：（1）设f（x）=ax2+bx+c（a≠0）
∵f（0）=2∴c=2
∵f（x）=f（-2-x）
∴图象的对称轴
导函数图象与直线
∴2a=2从而解得：a=1 b=2
∴a=1 b=2 c=2
∴f（x）=x2+2x+2 （x∈R）…（6）
（2）
当2-m≤0时，该函数在（0，+∞）上单调递增，故不符号题意．
g（x）=
该函数在（0，
∴
∴m≤-2…（12）
解析
解：（1）设f（x）=ax2+bx+c（a≠0）
∵f（0）=2∴c=2
∵f（x）=f（-2-x）
∴图象的对称轴
导函数图象与直线
∴2a=2从而解得：a=1 b=2
∴a=1 b=2 c=2
∴f（x）=x2+2x+2 （x∈R）…（6）
（2）
当2-m≤0时，该函数在（0，+∞）上单调递增，故不符号题意．
g（x）=
该函数在（0，
∴
∴m≤-2…（12）
设P为曲线C：y=x3-x上的点，则曲线C在点P处的切线倾斜角取值范围为______．
正确答案
解析
解：设切点P（x0，y0），过此点的切线的倾斜角为α．
∵f′（x）=3x2-1，∴
∴
∵0≤α＜π，∴α∈
故答案为α∈
已知函数f（x）在x=1处的导数为3，则f（x）的解析式可能为（ ）
正确答案
解析
解：A中，f′（x）=3（x-1）2+3
B中，f′（x）=4（x-1）
C中，f′（x）=2
D中，f′（x）=1
依次将x=1代入到各个选项中，只有A中，f′（1）=3
故选A．
曲线y=x2-x在点（1，0）处的切线的倾斜角为______．
正确答案
45°
解析
解：y‘=2x-1
∴当x=1时，y'=1，得切线的斜率为1，所以k=1；
∴1=tanα，
∴α=450，
故答案为45°．
曲线y=x（x2+1）切线斜率的取值范围是（ ）
正确答案
解析
解：y=x（x2+1）=x3+x的导数为 y′=3x2+1≥1，
故直线l的斜率 k≥1，
故选C．
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