- 导数及其应用
- 共31591题
函数y=x3+1在x=1时的瞬时变化率是______.
正确答案
3
解析
解析:=
=(△x)2+3△x+3;
当△x无限趋近于0时,(△x)2+3△x+3无限趋近于3,
所以y=x3+1在x=1时的瞬时变化率是3.
故答案为:3.
曲线y=x3-3x2+1在点(1,-1)处的切线方程为( )
正确答案
解析
解:∵点(1,-1)在曲线上,y′=3x2-6x,
∴y′|x=1=-3,即切线斜率为-3.
∴利用点斜式,切线方程为y+1=-3(x-1),即y=-3x+2.
故选B.
已知函数f(x)=-x3+ax2+b(a,b∈R)图象上任意一点处的切线的斜率都小于1,则实数a的取值范围是______.
正确答案
解析
解:由题意f′(x)=-3x2+2ax,
当x=时,f′(x)取到最大值,是
.
∴,解得
.
故答案为:.
若函数f(x)=x3+
f′(1)x2-f′(2)x+3,则f(x)在点(0,f(0))处切线的倾斜角为( )
正确答案
解析
解析:由题意得:f′(x)=x2+f′(1)x-f′(2),
令x=0,得f′(0)=-f′(2),
令x=1,得f′(1)=1+f′(1)-f′(2),
∴f′(2)=1,∴f′(0)=-1,
即f(x)在点(0,f(0))处切线的斜率为-1,
∴倾斜角为π.
故选D.
已知函数f(x)=2x2+3,分别计算函数f(x)在下列区间上的平均变化率:
(1)[2,4];
(2)[2,3];
(3)[2,2.1];
(4)[2,2.001].
正确答案
解:(1)函数f(x)在[2,4]上的平均变化率为=12;
(2)函数f(x)在[2,3]上的平均变化率为=10;
(3)函数f(x)在[2,2.1]上的平均变化率为=8.2;
(4)函数f(x)在[2,2.001]上的平均变化率为=8.002.
解析
解:(1)函数f(x)在[2,4]上的平均变化率为=12;
(2)函数f(x)在[2,3]上的平均变化率为=10;
(3)函数f(x)在[2,2.1]上的平均变化率为=8.2;
(4)函数f(x)在[2,2.001]上的平均变化率为=8.002.
一质点沿直线运动,如果有始点起经过t秒后的位移为s=t3-
t2+2t,那么三秒末的瞬时速度为______.
正确答案
2
解析
解:∵s=t3-
t2+2t,,∴s‘=t2-3t+2
当t=3时,v=s'=9-9+2=2
故答案为:2.
已知函数f(x)(x∈R)满足f(1)=1,且f(x)的导函数,则
的解集为______.
正确答案
(1,+∞)
解析
解:∵函数,
令g(x)=f(x)-,
则>0.
∴函数g(x)在R上单调递增,
又g(1)=f(1)-=1-1=0,
∴当x>1时,g(x)>g(1)=0.
∴的解集为(1,+∞).
故答案为:(1,+∞).
已知函数f(x)=lnx+a的导数为f′(x),若使得f′(x0)=f(x0)成立的x0<1,则实数α的取值范围为( )
正确答案
解析
解:由函数f(x)=lnx+a可得f′(x)=,由于使得f′(x0)=f(x0)成立的 0<x0<1,即
=lnx0+a.
由于 >1,lnx0<0,∴a=
-lnx0>1,故有a>1,
故选A.
过点(-1,0)作抛物线y=x2+x+1的切线,则其中一条切线为( )
正确答案
解析
解:y‘=2x+1,设切点坐标为(x0,y0),
则切线的斜率为2x0+1,
且y0=x02+x0+1
于是切线方程为y-x02-x0-1=(2x0+1)(x-x0),
因为点(-1,0)在切线上,
可解得x0=0或-2,当x0=0时,y0=1;x0=-2时,y0=3,这时可以得到两条直线方程,验正D正确.
故选D
若函数y=ax+b在区间[1,2]上的平均变化率为3,则a=( )
正确答案
解析
解:函数f(x)=ax+b在区间[1,2]上的增量△y=f(2)-f(1)=a,
∴f(x)在区间[1,2]上的平均变化率为=a,
∵函数y=ax+b在区间[1,2]上的平均变化率为3,
∴a=3.
故选:C.
一个物体的运动方程为s=1-2t+2t2其中s的单位是米,t的单位是秒,那么物体在3秒末的瞬时速度是( )
正确答案
解析
解:∵s=1-2t+2t2,∴s′=-2+4t,
把t=3代入上式可得s′=-2+4×3=10
由导数的意义可知物体在3秒末的瞬时速度是10米/秒,
故选B
已知f(x)=x3-3x,过A(1,m)可作曲线y=f(x)的三条切线,则m的取值范围是______.
正确答案
(-3,-2)
解析
解:已知点(1,m)在直线x=1上;由f‘(x)=3x2-3=0得两个极值点x=±1;
由f''(x)=6x=0;得一个拐点x=0;
在(-∞,0)f(x)上凸,在(0,+∞)f(x)下凸;
切线只能在凸性曲线段的外侧取得,在拐点x=0处有一条上凸和下凸部分的公共切线L其斜率k=f'(0)=-3,方程为:y=-3x;L与直线x=1的交点为(1,-3)
设过点(1,m)的直线为l
当m>-2时,l与函数f(x)上凸部分相切且有两条切线,l与下凸部分只能相交;
当m<-3时,l与f(x)下凸部分相切且有两条切线,l与上凸部分只能相交;
当-3<m<-2时,l与f(x)下凸部分相切且有两条切线,l与上凸部分也相切但只有一条,共3条;其中,当m=-3时下凸部分的切线之一与上凸部分的切线重合,共有2条
所以m的取值范围是-3<m<-2
故答案为:(-3,-2)
设P为曲线C:y=x2+2x+3上的点,且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为[],则点P横坐标的取值范围为( )
正确答案
解析
解:设点P的横坐标为x0,
∵y=x2+2x+3,
∴y‘=2x0+2,
利用导数的几何意义得2x0+2=tanα(α为点P处切线的倾斜角),
又∵,∴1≤2x0+2,
∴x0∈[-,+∞)
故选D.
如图,函数y=f(x)的图象在点P处的切线方程,y=-x+5,则f(3)-f′(3)=______.
正确答案
3
解析
解:f′(3)=-1
将x=3代入切线方程得f(3)=-3+5=2
所以f(3)-f′(3)=2-(-1)=3
故答案为:3
函数f(x)=excosx的图象在点(0,f(0))处的切线的倾斜角为______.
正确答案
解析
解:∵f′(x)=excosx-exsinx,
∴f′(0)=e0(cos0-sin0)=1
∴函数图象在点(0,f(0))处的切线的斜率为tanθ=1
∴函数图象在点(0,f(0))处的切线的倾斜角θ为.
故答案为:.
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