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题型:填空题
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填空题

函数y=x3+1在x=1时的瞬时变化率是______

正确答案

3

解析

解析:==(△x)2+3△x+3;

当△x无限趋近于0时,(△x)2+3△x+3无限趋近于3,

所以y=x3+1在x=1时的瞬时变化率是3.

故答案为:3.

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题型: 单选题
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单选题

曲线y=x3-3x2+1在点(1,-1)处的切线方程为(  )

Ay=3x-4

By=-3x+2

Cy=-4x+3

Dy=4x-5

正确答案

B

解析

解:∵点(1,-1)在曲线上,y′=3x2-6x,

∴y′|x=1=-3,即切线斜率为-3.

∴利用点斜式,切线方程为y+1=-3(x-1),即y=-3x+2.

故选B.

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题型:填空题
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填空题

已知函数f(x)=-x3+ax2+b(a,b∈R)图象上任意一点处的切线的斜率都小于1,则实数a的取值范围是______

正确答案

解析

解:由题意f′(x)=-3x2+2ax,

当x=时,f′(x)取到最大值,是

,解得

故答案为:

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题型: 单选题
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单选题

若函数f(x)=x3+f′(1)x2-f′(2)x+3,则f(x)在点(0,f(0))处切线的倾斜角为(  )

A

B

C

Dπ

正确答案

D

解析

解析:由题意得:f′(x)=x2+f′(1)x-f′(2),

令x=0,得f′(0)=-f′(2),

令x=1,得f′(1)=1+f′(1)-f′(2),

∴f′(2)=1,∴f′(0)=-1,

即f(x)在点(0,f(0))处切线的斜率为-1,

∴倾斜角为π.

故选D.

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题型:简答题
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简答题

已知函数f(x)=2x2+3,分别计算函数f(x)在下列区间上的平均变化率:

(1)[2,4];

(2)[2,3];

(3)[2,2.1];

(4)[2,2.001].

正确答案

解:(1)函数f(x)在[2,4]上的平均变化率为=12;

(2)函数f(x)在[2,3]上的平均变化率为=10;

(3)函数f(x)在[2,2.1]上的平均变化率为=8.2;

(4)函数f(x)在[2,2.001]上的平均变化率为=8.002.

解析

解:(1)函数f(x)在[2,4]上的平均变化率为=12;

(2)函数f(x)在[2,3]上的平均变化率为=10;

(3)函数f(x)在[2,2.1]上的平均变化率为=8.2;

(4)函数f(x)在[2,2.001]上的平均变化率为=8.002.

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题型:填空题
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填空题

一质点沿直线运动,如果有始点起经过t秒后的位移为s=t3-t2+2t,那么三秒末的瞬时速度为______

正确答案

2

解析

解:∵s=t3-t2+2t,,∴s‘=t2-3t+2

当t=3时,v=s'=9-9+2=2

故答案为:2.

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题型:填空题
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填空题

已知函数f(x)(x∈R)满足f(1)=1,且f(x)的导函数,则的解集为______

正确答案

(1,+∞)

解析

解:∵函数

令g(x)=f(x)-

>0.

∴函数g(x)在R上单调递增,

又g(1)=f(1)-=1-1=0,

∴当x>1时,g(x)>g(1)=0.

的解集为(1,+∞).

故答案为:(1,+∞).

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题型: 单选题
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单选题

已知函数f(x)=lnx+a的导数为f′(x),若使得f′(x0)=f(x0)成立的x0<1,则实数α的取值范围为(  )

Aa>1

Ba<1

C0<a<1

Da≥1

正确答案

A

解析

解:由函数f(x)=lnx+a可得f′(x)=,由于使得f′(x0)=f(x0)成立的 0<x0<1,即 =lnx0+a.

由于 >1,lnx0<0,∴a=-lnx0>1,故有a>1,

故选A.

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题型: 单选题
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单选题

过点(-1,0)作抛物线y=x2+x+1的切线,则其中一条切线为(  )

A2x+y+2=0

B3x-y+3=0

Cx+y+1=0

Dx-y+1=0

正确答案

D

解析

解:y‘=2x+1,设切点坐标为(x0,y0),

则切线的斜率为2x0+1,

且y0=x02+x0+1

于是切线方程为y-x02-x0-1=(2x0+1)(x-x0),

因为点(-1,0)在切线上,

可解得x0=0或-2,当x0=0时,y0=1;x0=-2时,y0=3,这时可以得到两条直线方程,验正D正确.

故选D

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题型: 单选题
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单选题

若函数y=ax+b在区间[1,2]上的平均变化率为3,则a=(  )

A-3

B2

C3

D-2

正确答案

C

解析

解:函数f(x)=ax+b在区间[1,2]上的增量△y=f(2)-f(1)=a,

∴f(x)在区间[1,2]上的平均变化率为=a,

∵函数y=ax+b在区间[1,2]上的平均变化率为3,

∴a=3.

故选:C.

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题型: 单选题
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单选题

一个物体的运动方程为s=1-2t+2t2其中s的单位是米,t的单位是秒,那么物体在3秒末的瞬时速度是(  )

A9米/秒

B10米/秒

C12米/秒

D13米/秒

正确答案

B

解析

解:∵s=1-2t+2t2,∴s′=-2+4t,

把t=3代入上式可得s′=-2+4×3=10

由导数的意义可知物体在3秒末的瞬时速度是10米/秒,

故选B

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题型:填空题
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填空题

已知f(x)=x3-3x,过A(1,m)可作曲线y=f(x)的三条切线,则m的取值范围是______

正确答案

(-3,-2)

解析

解:已知点(1,m)在直线x=1上;由f‘(x)=3x2-3=0得两个极值点x=±1;

由f''(x)=6x=0;得一个拐点x=0;

在(-∞,0)f(x)上凸,在(0,+∞)f(x)下凸;

切线只能在凸性曲线段的外侧取得,在拐点x=0处有一条上凸和下凸部分的公共切线L其斜率k=f'(0)=-3,方程为:y=-3x;L与直线x=1的交点为(1,-3)

设过点(1,m)的直线为l

当m>-2时,l与函数f(x)上凸部分相切且有两条切线,l与下凸部分只能相交;

当m<-3时,l与f(x)下凸部分相切且有两条切线,l与上凸部分只能相交;

当-3<m<-2时,l与f(x)下凸部分相切且有两条切线,l与上凸部分也相切但只有一条,共3条;其中,当m=-3时下凸部分的切线之一与上凸部分的切线重合,共有2条

所以m的取值范围是-3<m<-2

故答案为:(-3,-2)

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题型: 单选题
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单选题

设P为曲线C:y=x2+2x+3上的点,且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为[],则点P横坐标的取值范围为(  )

A(-∞,]

B[-1,0]

C[0,1]

D[-,+∞)

正确答案

D

解析

解:设点P的横坐标为x0

∵y=x2+2x+3,

∴y‘=2x0+2,

利用导数的几何意义得2x0+2=tanα(α为点P处切线的倾斜角),

又∵,∴1≤2x0+2,

∴x0∈[-,+∞)

故选D.

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题型:填空题
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填空题

如图,函数y=f(x)的图象在点P处的切线方程,y=-x+5,则f(3)-f′(3)=______

正确答案

3

解析

解:f′(3)=-1

将x=3代入切线方程得f(3)=-3+5=2

所以f(3)-f′(3)=2-(-1)=3

故答案为:3

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题型:填空题
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填空题

函数f(x)=excosx的图象在点(0,f(0))处的切线的倾斜角为______

正确答案

解析

解:∵f′(x)=excosx-exsinx,

∴f′(0)=e0(cos0-sin0)=1

∴函数图象在点(0,f(0))处的切线的斜率为tanθ=1

∴函数图象在点(0,f(0))处的切线的倾斜角θ为

故答案为:

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