热门试卷

解：（1）

所以，曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y=-x+3；

（2）

由下表知，，

∴，

所以满足条件的最大整数M=4；

（3）

等价于：在区间上，函数f(x)的最小值不小于g(x)的最大值，

由（2）知，在区间上，g(x)的最大值为，，

下证当a≥1时，在区间上，函数f(x)≥1恒成立，

当a≥1且时，，

记，，。

当时，；

当时，，

所以，函数在区间上递减，在区间上递增，，即h(x)≥1， 所以，当a≥1且时，f(x)≥1成立，

即对任意，都有f(s)≥g(t)。

解：（1），

①a＞0，当0＜x＜1时，＞0，f(x)在（0，1）上单调递增；

当x＞1时，＜0，f（x）在（1，+∞）上单调递减；

②a=0时，f（x）=-3，是常数函数，无单调性；

③a＜0，当0＜x＜1时，＜0，f（x）在（0，1）上单调递减；

当x＞1时，＞0，f（x）在（1，+∞）上单调递增。

（2）；

（3）证明“略”。

解：（Ⅰ），，

∵，

∴切点为，切线斜率，

∴f（x）在（1，f（1））处的切线方程为2x+2y-3=0。

（Ⅱ）f（x）＜g（x）在x∈上恒成立，

也就是在x∈上的最大值小于0，

，

（x＞0），

（1）若a≥e，则当时，，h（x）单调递增；

当时，，h（x）单调递减，

∴h（x）的最大值为，

∴；

（2）若，则当时，，h（x）单调递增；

当时，，h（x）单调递减；

当时，，h（x）单调递增；

∴h（x）的最大值为，从而，

其中，由，得，这与矛盾；

综合（1）（2）可知：当时，对任意的，恒有f（x）＜g（x）成立。

解：（1）f（x）=ax2+1（a＞0），

则f'（x）=2ax，k1=2a，

g（x）=x3+bx，则f'（x）=3x2+b，k2=3+b，

由（1，c）为公共切点，

可得：2a=3+b  ①

又f（1）=a+1，g（1）=1+b，

∴a+1=1+b，即a=b，

代入①式可得：。

（2）由题设a2=4b，

设

则，

令h'（x）=0，解得：，；

∵a＞0，

∴，

①若，即a≤2时，最大值为；

②若，即2＜a＜6时，最大值为

③若时，即a≥6时，最大值为

综上所述：当a∈（0，2]时，最大值为；

当a∈（2，+∞）时，最大值为。

解：（x＞0）

（1），解得；

（2）

①当时，

在区间上，，在区间上

故f（x）的单调递增区间是，单调递减区间是；

②当时，

在区间和上，，在区间上，

故f（x）的单调递增区间是和，单调递减区间是；

③当时，，故f（x）的单调递增区间是；

④当时，

在区间和上，

在区间上

故f（x）的单调递增区间是和，单调递减区间是；

（3）由已知，在上有

由已知，由（2）可知

①当时，f（x）在上单调递增

故

所以，解得

故

②当时，f（x）在上单调递增，在上单调递减，

故

由可知，，

所以，

综上所述。

解：（Ⅰ）由点处的切线方程与直线2x-y=0平行，

得该切线斜率为2，即，

又，令，

所以，。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，

显然时，，

当时，，所以函数在上单调递减；

当时，，所以函数在上单调递增，

①时，；

②时，函数在[n，n+2]上单调递增，

因此，

所以。

（Ⅲ）对一切恒成立，

又，

∴，即，

设，

则，

由，得x=1或x=2，

∴单调递增，

单调递减，

单调递增，

∴，且，

所以，，

因为对一切恒成立，

∴，

故实数t的取值范围为。

（Ⅰ）解：求导函数可得

由题意有f'（x0）=0，即，解得x0=e或x0=-3e（舍去）．

 ∴f（e）=0即，解得

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，

f'（x）=

在区间（0，e）上，有f'（x）＜0；

在区间（e，+∞）上，有f'（x）＞0．

故f（x）在（0，e）单调递减，在（e，+∞）单调递增，

于是函数f（x）在（0，+∞）上的最小值是f（e）=0．

故当x＞0时，有f（x）≥0恒成立．

（Ⅲ）解：（x＞0）．

当a＞3e2时，则，当且仅当x= a-3e2 时等号成立，

故F（x）的最小值＞2e，符合题意；       

当a=3e2时，函数F（x）=x+2e在区间（0，+∞）上是增函数，不存在最小值，不合题意；

当a＜3e2时，函数在区间（0，+∞）上是增函数，不存在最小值，不合题意．

综上，实数a的取值范围是（3e2，+∞）．                                 

解：（1）f′（x）=3ax2+2bx﹣3，

依题意，f′（1）=f′（﹣1）=0，解得a=1，b=0．

∴f（x）=x3﹣3x

（2）∵f（x）=x3﹣3x，

∴f′（x）=3x2﹣3=3（x+1）（x﹣1），

当﹣1＜x＜1时，f′（x）＜0，故f（x）在区间[﹣1，1]上为减函数，

fmax（x）=f（﹣1）=2，fmin（x）=f（1）=﹣2

∵对于区间[﹣1，1]上任意两个自变量的值x1，x2，

都有|f（x1）﹣f（x2）|≤|fmax（x）﹣fmin（x）|

|f（x1）﹣f（x2）|≤|fmax（x）﹣fmin（x）|=2﹣（﹣2）=4

（3）f′（x）=3x2﹣3=3（x+1）（x﹣1），

∵曲线方程为y=x3﹣3x，

∴点A（1，m）不在曲线上．

设切点为M（x0，y0），切线的斜率为 （左边用导数求出，右边用斜率的两点式求出），整理得2x03﹣3x02+m+3=0．

∵过点A（1，m）可作曲线的三条切线，故此方程有三个不同解，

下研究方程解有三个时参数所满足的条件

设g（x0）=2x03﹣3x02+m+3，则g′（x0）=6x02﹣6x0，

由g′（x0）=0，得x0=0或x0=1．

∴g（x0）在（﹣∞，0），（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减．

∴函数g（x0）=2x03﹣3x02+m+3的极值点为x0=0，x0=1

∴关于x0方程2x03﹣3x02+m+3=0有三个实根的充要条件是 ，

解得﹣3＜m＜﹣2．

故所求的实数a的取值范围是﹣3＜m＜﹣2．

解：（1）①

∵函数f（x）在x=1处与直线相切

∴，解得

②

当时，令f'（x）＞0得；

令f'（x）＜0，得1＜x≤e

∴上单调递增，在[1，e]上单调递减，

∴

（2）当b=0时，f（x）=alnx

若不等式f（x）≥m+x对所有的都成立，

则alnx≥m+x对所有的都成立，

即m≤alnx﹣x，对所有的都成立，

令h（a）=alnx﹣x，则h（a）为一次函数，m≤h（a）min∵x∈（1，e2]，∴lnx＞0，∴上单调递增

∴h（a）min=h（0）=﹣x，

∴m≤﹣x对所有的x∈（1，e2]都成立，

∵1＜x＜e2，

∴﹣e2≤﹣x＜﹣1，∴m≤（﹣x）min=﹣e2．

解：（I）函数f（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）， 

∴f′（1）=a

∵函数f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x+y+3=0垂直

∴f′（1）=1 ∴a=1；

（II）由（I）可得 ，

证明g（x）≤f（x）在x∈（0，+∞）内恒成立，

即 恒成立

∴只要证明lnx﹣x+1≤0（x＞0）恒成立

构造函数h（x）=lnx﹣x+1（x＞0）

∴ 

令 ，

结合x＞0，可得0＜x＜1，

令 ，结合x＞0，可得x＞1，

∴x=1处有极大值h（1）=0，且为最大值

∴lnx﹣x+1≤0在x∈（0，+∞）内恒成立

∴g（x）≤f（x）在x∈（0，+∞）内恒成立．

解：（1）∵f（x）=x3﹣ax，x∈R，

∴f′（x）=3x2﹣a≥﹣a，

∴过图象上一点斜率最小的切线的斜率k=﹣a，

∵过图象上一点斜率最小的切线平行于直线x+y=2，

∴﹣a=﹣1，故a=1．

（2）∵a=1，

∴f（x）=x3﹣x，f′（x）=3x2﹣1，

令f′（x）=3x2﹣1=0，得x=

列表讨论：

由表讨论知：函数f（x）的单调增区间是 （﹣∞，﹣）、（，+∞）；

单调减区间是（﹣，）．极大值f（﹣）=﹣+=，极小值f（）==﹣．

（3）∵f（x）﹣kf（x﹣1）≥0，f（x）=x3﹣x，

∴k≤====1+，

∵x∈（1，+∞），当1＜x＜2时，﹣2＜1+＜1

当x=﹣2时，1+＜+∞，

当x＞2时，1+＞1

∴k≤﹣2．

解：（1）由题意得f'（x）=3ax2+2x+b

因此g（x）=f（x）+f'（x）=ax3+（3a+1）x2+（b+2）x+b

因为函数g（x）是奇函数，所以g（﹣x）=﹣g（x），

即对任意实数x，

有a（﹣x）3+（3a+1）（﹣x）2+（b+2）（﹣x）+b=﹣[ax3+（3a+1）x2+（b+2）x+b]

从而3a+1=0，b=0， 解得，

因此f（x）的解析表达式为．

（2）由（1）知， 所以g'（x）=﹣x2+2，

令g'（x）=0 解得

则当时，g'（x）＜0

从而g（x）在区间，上是减函数，

当，

从而g（x）在区间上是增函数，

由前面讨论知，g（x）在区间[1，2]上的最大值与最小值只能在时取得，

而，

因此g（x）在区间[1，2]上的最大值为，最小值为．

解：∵，

∴，

设，则过M点曲线C的切线斜率k=-2m，

∴切线方程为，

由x=0，得，；

由y=0，得，，其中0＜m＜2，

设△AOB的面积为S，则，0＜m＜2，

∴，

令S′=0，得，解得，

当时，S′＜0，S在区间上为减函数；

当时，S′＞0，S在区间上为增函数；

∴当时，S取得最小值，最小值为。

解：（1）k=2，，

，

当x=2时，f′（2）=-1，

切线方程为x+y=1；

（2），得，

当k≤0时，f′（x）＞0，函数f（x）在定义域内单调递增，f（x）≤0不恒成立；

当k＞0时，函数f（x）在单调递增，在单调递减，

当时，f（x）取最大值，

，

∴k≥1；

（3）由（2）知k=1时，f（x）≤0恒成立，即，

∴，

取x=3，4，5，…，n，n+1累加得

。