导数及其应用_章节学习

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题型：单选题

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单选题

过曲线y=x2-2x+3上一点P作曲线的切线，若切点P的横坐标的取值范围是，则切线的倾斜角的取值范围是（　　）

A

B

C

D[0，π）

正确答案

B

解析

解：根据题意得f′（x）=2x-2，∵x∈

∵-1≤2x-2≤1，

则曲线y=x2-2x+3上切点处的切线的斜率k：-1≤k≤1，

又∵k=tanα，结合正切函数的性质可得：

α∈，

故选B．

1

题型：填空题

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填空题

如图所示，某种液体以πcm3/s的流量注入深为18cm，上口直径为12cm的圆锥形容器中，当液体深度为6cm时，液体高度上升的瞬间速度为______cm/s．

正确答案

解析

解：设经过ts水深为h，∴πt=π（h）2h．

∴h=3•t．

∴h′=t

令h=6，t=8，

∴h′=8=

即水面上升的速度为 cm/s．

故答案为．

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题型：填空题

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填空题

函数y=f（x）的图象在点M（1，f（1））处的切线方程是y=3x-2，则f（1）+f′（1）=______．

正确答案

4

解析

解：由题意得f′（1）=3，且f（1）=3×1-2=1

所以f（1）+f′（1）=3+1=4．

故答案为4．

1

题型：单选题

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单选题

路灯距地平面为8m，一个身高为1.6m的人以84m/min的速率在地面上行走，从路灯在地平面上射影点C，沿某直线离开路灯，则人影长度的变化速率为（　　）m/s．

A

B

C

D21

正确答案

B

解析

解：如图：设人的高度BE，则BE=1.6，人的影子长AB=h，

由直角三角形相似得，即，

解得 h=21t （m/min）=21t×（m/s）=t m/s，

∴h′=m/s，

故选B．

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题型：单选题

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单选题

曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（　　）

A

B

C

D

正确答案

A

解析

解：若y=x3+x，则y′|x=1=2，即曲线在点处的切线方程是，它与坐标轴的交点是（，0），（0，-），围成的三角形面积为，故选A．

1

题型：单选题

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单选题

函数y=x2+1在[1，1+△x]上平均变化率是（　　）

A2

B2x

C2+△x

D2+△x2

正确答案

C

解析

解：∵f（1+△x）=（1+△x）2+1=（△x）2+2△x+2，f（1）=2

∴该函数在区间[1，1+△x]上的平均变化率为

==2+△x

故选C．

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题型：单选题

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单选题

如图所示，一个物体在4s内的速度图象恰好时一个半圆，以下关于物体的运动的说法正确的是（　　）

A物体前2s作匀加速直线运动，后2s作匀减速直线运动

B物体在前2s作加速度越来越小的加速运动，后2s作加速度越来越大的减速运动

C物体在4s内的位移大小是0

D物体在4s内的位移大小无法确定

正确答案

B

解析

解：根据题意，得；

物体在4s内的速度图象恰好是一个半圆，对速度函数求导，是加速度的函数，也是速度曲线上某一点的斜率，

根据速度的图象得，斜率的绝对值是先变小后变大，

即物体在前2s作加速度越来越小的加速运动，后2s作加速度越来越大的减速运动；

∴B正确．

故选：B．

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题型：单选题

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单选题

如图，是函数y=f（x）的导函数f′（x）的图象，则下面判断正确的是（　　）

A在区间（-2，1）上f（x）是增函数

B在（1，3）上f（x）是减函数

C在（4，5）上f（x）是增函数

D当x=4时，f（x）取极大值

正确答案

C

解析

解：由于f′（x）≥0⇒函数f（x）d单调递增；f′（x）≤0⇒单调f（x）单调递减

观察f′（x）的图象可知，

当x∈（-2，1）时，函数先递减，后递增，故A错误

当x∈（1，3）时，函数先增后减，故B错误

当x∈（4，5）时函数递增，故C正确

由函数的图象可知函数在4处取得函数的极小值，故D错误

故选：C

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题型：填空题

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填空题

在区间[-6，6]内任取一个元素x0，若抛物线y=x2在x=x0处的切线的倾角为α，则的概率为______．

正确答案

解析

解：当α∈时，切线的斜率k≥1或k≤-1，

又 y′=2x，所以或，

∴[-6，6]∩（（-∞，]∪[，+∞））=，

∴点x0所在区间的长度==11，区间[-6，6]的长度=12，

所以P=．

故答案为．

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题型：单选题

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单选题

已知f′（x0）=1则的值为（　　）

A

B1

C2

D-

正确答案

A

解析

解：∵f′（x0）==1，

∴==．

故选A．

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题型：填空题

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填空题

若函数f（x）在点A（1，-1）处的导数为-2，则函数在点A处的切线方程为______．

正确答案

2x+y-1=0

解析

解：由题意，切线的斜率为-2．

∴函数在点A处的切线方程为y+1=-2（x-1），即2x+y-1=0．

故答案为：2x+y-1=0．

1

题型：简答题

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简答题

已知曲线y=cos（ωx+）在点（，0）处切线斜率为k，若|k|＜1，求ω．

正确答案

解：因为y=cos（ωx+），

cos（ω+）=0，

ω+=nπ+，

∴ω=2n+（n∈Z），

∴y′=-ωsin（ωx+），

∴k=y′|=-（2n+）sin[（2n+）×+]═-（2n+）sin（n）=，

∵|k|＜1，

∴|2n+|＜1，

ω=．

解析

解：因为y=cos（ωx+），

cos（ω+）=0，

ω+=nπ+，

∴ω=2n+（n∈Z），

∴y′=-ωsin（ωx+），

∴k=y′|=-（2n+）sin[（2n+）×+]═-（2n+）sin（n）=，

∵|k|＜1，

∴|2n+|＜1，

ω=．

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题型：简答题

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简答题

求曲线f（x）=x3-3x2+2x过原点的切线方程．

正确答案

解f′（x）=3x2-6x+2．设切线的斜率为k．

（1）当切点是原点时k=f′（0）=2，

所以所求曲线的切线方程为y=2x．

（2）当切点不是原点时，设切点是（x0，y0），

则有y0=x03-3x02+2x0，k=f′（x0）=3x02-6x0+2，①

又k==x02-3x0+2，②

由①②得x0=，k==-．

∴所求曲线的切线方程为y=-x．

故曲线的切线方程是y=2x；y=-

解析

解f′（x）=3x2-6x+2．设切线的斜率为k．

（1）当切点是原点时k=f′（0）=2，

所以所求曲线的切线方程为y=2x．

（2）当切点不是原点时，设切点是（x0，y0），

则有y0=x03-3x02+2x0，k=f′（x0）=3x02-6x0+2，①

又k==x02-3x0+2，②

由①②得x0=，k==-．

∴所求曲线的切线方程为y=-x．

故曲线的切线方程是y=2x；y=-

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题型：单选题

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单选题

已知f′（x0）=a，则的值为（　　）

A-2a

B2a

Ca

D-a

正确答案

B

解析

解：若f′（x0）=a，则 =a，

又

=2

=2f（x0）=2a，

故选B．

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题型：简答题

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简答题

证明：如果f（x）为（-a，a）内可导的偶（奇）函数，则导数f′（x）必为（-a，a）内的奇（偶）函数．

正确答案

证明：对任意x∈（-a，a），f′（-x）==

由于f（x）为奇函数，∴f[-（x-△x）]=-f（x-△x），f（-x）=-f（x），

于是f′（-x）===f′（x）

因此f′（-x）=f′（x）即f′（x）是（-a，a）内的偶函数．

解析

证明：对任意x∈（-a，a），f′（-x）==

由于f（x）为奇函数，∴f[-（x-△x）]=-f（x-△x），f（-x）=-f（x），

于是f′（-x）===f′（x）

因此f′（-x）=f′（x）即f′（x）是（-a，a）内的偶函数．

热门试卷

正确答案

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