- 导数及其应用
- 共31591题
Ay=
By=
Cy=
Dy=
正确答案
解析
解：由函数图象知，此三次函数在（0，0）上处与直线y=-x相切，在（2，0）点处与y=3x-6相切，下研究四个选项中函数在两点处的切线．
A、
B、
C、
D、
故选：A．
若f′（x0）=-3，则
正确答案
解析
解：∵f′（x0）=-3，
∴
故选：C．
某质点的运动方程是S=t3-2t-1，则在t=1时的瞬时速度为______．
正确答案
10
解析
解：∵S=t3-2t-1，∴S‘=3t2-2
当t=1时，v=S'（2）=3×4-2=10．
故答案为：10．
在f（x）=x3+3x2+6x-10的切线中，斜率最小的切线方程为（ ）
正确答案
解析
解：∵f（x）=x3+3x2+6x-10∴f‘（x）=3x2+6x+6=3（x+1）2+3
∵当x=-1时，f'（x）取到最小值3
∴f（x）=x3+3x2+6x-10的切线中，斜率最小的切线方程的斜率为3
∵f（-1）=-1+3-6-10=-14
∴切点坐标为（-1，-14）
∴切线方程为：y+14=3（x+1），即3x-y-11=0
故选D．
函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可能是（ ）
正确答案
解析
解：由图知，导函数的定义域为（0，+∞）
∵（ax）′=axlna，（xex）′=ex+xex导函数的定义域为R
∴排除选项A，C
由图知无论a的符号怎样导函数都是先正后负
又
排除B
故选项为D
运动物体的位移s=3t2-2t+1，则此物体在t=10时的瞬时速度为（ ）
正确答案
解析
解：∵v=s′=6t-2，
∴此物体在t=10时的瞬时速度=6×10-2=58．
故选：B．
氡气是一种由地表自然散发的无味的放射性气体．如果最初有500g氡气，那么t天后，氡气的剩余量为A（t）=500×0.834t．
（1）氡气的散发速度是多少？
（2）A′（7）的值是什么（精确到0.1）？它表示什么意义？
正确答案
解：（1）氡气的散发速度就是剩留量函数的导数．
∵（）=500×0.834，
∴′（）=500×0.834ln 0.834．
（2）′（7）=500×0.8347ln 0.834≈-25.5．
它表示在第7天附近，氡气大约以25.5克/天的速度自然散发．
解析
解：（1）氡气的散发速度就是剩留量函数的导数．
∵（）=500×0.834，
∴′（）=500×0.834ln 0.834．
（2）′（7）=500×0.8347ln 0.834≈-25.5．
它表示在第7天附近，氡气大约以25.5克/天的速度自然散发．
已知f（x）=x2+bx+c为偶函数，曲线y=f（x）过点（2，5），g（x）=（x+a）f（x）．
（1）求曲线y=g（x）有斜率为0的切线，求实数a的取值范围；
（2）若当x=-1时函数y=g（x）取得极值，确定y=g（x）的单调区间．
正确答案
解：（1）∵f（x）=x2+bx+c为偶函数，故f（-x）=f（x）即有
（-x）2+b（-x）+c=x2+bx+c解得b=0
又曲线y=f（x）过点（2，5），得22+c=5，有c=1
∵g（x）=（x+a）f（x）=x3+ax2+x+a从而g′（x）=3x2+2ax+1，
∵曲线y=g（x）有斜率为0的切线，故有g′（x）=0有实数解．即3x2+2ax+1=0有实数解．
此时有△=4a2-12≥0解得
a∈（-∞，-
（2）因x=-1时函数y=g（x）取得极值，故有g′（-1）=0即3-2a+1=0，解得a=2
又g′（x）=3x2+4x+1=（3x+1）（x+1）令g′（x）=0，得x1=-1，x2=
当x∈（-∞，-1）时，g′（x）＞0，故g（x）在（-∞，-1）上为增函数
当
当x∈（-
解析
解：（1）∵f（x）=x2+bx+c为偶函数，故f（-x）=f（x）即有
（-x）2+b（-x）+c=x2+bx+c解得b=0
又曲线y=f（x）过点（2，5），得22+c=5，有c=1
∵g（x）=（x+a）f（x）=x3+ax2+x+a从而g′（x）=3x2+2ax+1，
∵曲线y=g（x）有斜率为0的切线，故有g′（x）=0有实数解．即3x2+2ax+1=0有实数解．
此时有△=4a2-12≥0解得
a∈（-∞，-
（2）因x=-1时函数y=g（x）取得极值，故有g′（-1）=0即3-2a+1=0，解得a=2
又g′（x）=3x2+4x+1=（3x+1）（x+1）令g′（x）=0，得x1=-1，x2=
当x∈（-∞，-1）时，g′（x）＞0，故g（x）在（-∞，-1）上为增函数
当
当x∈（-
若在曲线f（x，y）=0（或y=f（x））上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线线f（x，y）=0（或y=f（x））的自公切线，下列方程的曲线：①x2-y2=1；②y=3sinx+4cosx；③y=x2-|x|；④|x|+1=
正确答案
解析
解：x2-y2=1为等轴双曲线，不存在自公切线，故①不存在；函数y=3sinx+4cosx的一条自公切线为y=5，故②存在；
函数 y=x2-|x|的图象如下左图显然满足要求，故③存在；对于方程|x|+1=
故选C．
一物体的运动方程为s=sin2t+3t+1，则它的速度方程为（ ）
正确答案
解析
解：因为变速运动在t0的瞬时速度就是路程函数y=s（t）在t0的导数，物体的运动方程为s=sin2t+3t+1，
所以速度方程为v=s′=2cos2t+3，
故选：A．
已知点P在曲线y=
A[0，
B
C
D
正确答案
解析
解：因为y′=
∵
∴ex+e-x+2≥4，
∴y′∈[-1，0）
即tanα∈[-1，0），
∵0≤α＜π
∴
故选：D．
若函数f（x）在x0处的导数f′（x0）=
正确答案
60°
解析
解：函数f（x）在x0处的导数f′（x0）与f（x）在x0处的切线斜率相等
∵f（x）在x0处的导数f′（x0）=
∴函数f（x）在x0处的切线的斜率为
函数f（x）在x0处的切线的倾斜角为60°
故答案为；60°
设函数f（x）=x3+ax2-9x-1（a＜0），若曲线f（x）的斜率最小的切线与直线12x+y=6平行，则a的值为（ ）
正确答案
解析
解：由题意可得 函数f′（x）=3x2+2ax-9，故当 x=-
解得a=-3．
故选 A．
一物体作直线运动，其运动方程为s（t）=-t2+2t，则t=1时其速度为（ ）
正确答案
解析
解：∵s（t）=-t2+2t
∴s‘（t）=-2t+2
∴s'（1）=0
故t=1时其速度为0．
故选：D．
一物体作直线运动，其运动方程为s=3t-t2，其中位移s单位为米，时间t的单位为秒，那么该物体的初速度为（ ）
正确答案
解析
解：∵位移s与时间t的关系为s=3t-t2，
∴s′=3-2t，
当t=0时，s′=3，
∴物体的初速度为3
故选C．
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