- 导数及其应用
- 共31591题
函数y=f（x）的自变量在x=1处有增量△x时，函数值相应的增量为______．
正确答案
△y=f（1+△x）-f（1）
解析
解：∵函数y=f（x）的自变量在x=1处有增量△x，
∴函数在1+△x处的函数值为f（1+△x），
∴函数y=f（x）的自变量在x=1处有增量△x时，函数值相应的增量为△y=f（1+△x）-f（1），
故答案为：△y=f（1+△x）-f（1）
已知函数f（x）=x2+2，则该函数在区间[1，3]上的平均变化率为（ ）
正确答案
解析
解：∵f（3）=11，f（1）=3
∴该函数在区间[1，3]上的平均变化率为
故选A
设f（x）是定义在R上的连续可导奇函数，f‘（1）=3，则
正确答案
解析
解：∵f（x）是定义在R上的连续可导奇函数
∴
∵f'（1）=3，
∴
故选C．
已知函数f（x）=2x3-3（a-1）x2+4x+6a（a∈R），g（x）=4x+6．
（1）若函数y=f（x）的切线斜率的最小值为1，求实数a的值；
（2）若两个函数图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围．
正确答案
解：（1）f（x）=2x3-3（a-1）x2+4x+6a，求导得
f′（x）=6x2-6（a-1）x+4≥
∴a=1±
（2）∵g（x）=4x+6的图象是一条直线，
因此两个函数图象有且只有一个公共点的个数取决于方程f（x）=g（x）的解的个数，
所以只需研究函数h（x）=f（x）-g（x）=2x3-3（a-1）x2+6（a-1）图象与x轴关系．
h′（x）=6x2-6（a-1）x=6x[x-（a-1）]，
①当a=1时，h′（x）=6x2≥0，h（x）在R上单调递增，则h（x）与x轴只有一个交点；
②当a≠1时，h′（x）=0有两根x1=0，x2=a-1，
而h（x1）=6（a-1），h（x2）=（a-1）[6-（a-1）2]，
∵h（x）与x轴只有一个交点，则需h（x1）h（x2）＞0，
∴6（a-1）（a-1）[6-（a-1）2]＞0，解得1-
由①②可知实数a的取值范围为（1-
解析
解：（1）f（x）=2x3-3（a-1）x2+4x+6a，求导得
f′（x）=6x2-6（a-1）x+4≥
∴a=1±
（2）∵g（x）=4x+6的图象是一条直线，
因此两个函数图象有且只有一个公共点的个数取决于方程f（x）=g（x）的解的个数，
所以只需研究函数h（x）=f（x）-g（x）=2x3-3（a-1）x2+6（a-1）图象与x轴关系．
h′（x）=6x2-6（a-1）x=6x[x-（a-1）]，
①当a=1时，h′（x）=6x2≥0，h（x）在R上单调递增，则h（x）与x轴只有一个交点；
②当a≠1时，h′（x）=0有两根x1=0，x2=a-1，
而h（x1）=6（a-1），h（x2）=（a-1）[6-（a-1）2]，
∵h（x）与x轴只有一个交点，则需h（x1）h（x2）＞0，
∴6（a-1）（a-1）[6-（a-1）2]＞0，解得1-
由①②可知实数a的取值范围为（1-
点P在曲线y=x3-x+
正确答案
解：y′=3x2-1≥-1，∴tanα≥-1，∴
解析
解：y′=3x2-1≥-1，∴tanα≥-1，∴
某物体的运动路程S（单位：m）与时间t（单位：s）的关系可用函数S（t）=t3-2表示，则此物体在t=1s时的瞬时速度（单位：m/s）为（ ）
正确答案
解析
解：由S（t）=t3-2，得S′（t）=3t2，所以S′（1）=3．
则物体在t=1s时的瞬时速度为3m/s．
故选B．
给出下列命题：①若函数f（x）=x3，则f‘（0）=0；②若函数f（x）=2x2+1，图象上P（1，3）及邻近点Q（1+△x，3+△y），则
其中正确的命题为______．（写上序号）
正确答案
①②
解析
解：∵f′（x）=（x3）′=3x2，∴f′（0）=0，故①正确；
∵3+△y=2（1+△x）2+1=2△x2+4△x+3，∴△y=2△x2+4△x，∴
位移函数S（t）对时间t的导数是t时刻的瞬时速度，故③错误；
故答案为：①②．
已知函数f（x）=
（1）若x=1时，f（x）取得极值，求实数a的值；
（2）当a＜1时，求f（x）在[0，1]上的最小值；
（3）若对任意m∈R，直线y=-x+m都不是曲线y=f（x）的切线，求实数a的取值范围．
正确答案
解：（1）∵f′（x）=x2-a，又x=1时f（x）取得极值，
∴f′（1）=1-a=0，解得a=1．
∴f′（x）=x2-1=（x+1）（x-1）．
当x∈（-1，1）时，f′（x）＜0；
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0．
∴f（x）在x=1时取得极小值，故a=1符合．
（2）当a≤0时，f′（x）≥0对x∈[0，1]恒成立，f（x）在[0，1]上单调递增，
∴f（x）min=f（0）=1，
当0＜a＜1时，由f′（x）=x2-a=0解得
若
∴f（x）在
若
∴f（x）在
∴f（x）在x=
综上所述，f（x）min=
（3）∵任意m∈R，直线y=-x+m都不是曲线y=f（x）的切线，
∴f′（x）=x2-a≠-1对x∈R恒成立，
即f′（x）=x2-a的最小值大于-1，
而f′（x）=x2-a的最小值为f′（0）=-a，
∴-a＞-1，故a＜1．
解析
解：（1）∵f′（x）=x2-a，又x=1时f（x）取得极值，
∴f′（1）=1-a=0，解得a=1．
∴f′（x）=x2-1=（x+1）（x-1）．
当x∈（-1，1）时，f′（x）＜0；
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0．
∴f（x）在x=1时取得极小值，故a=1符合．
（2）当a≤0时，f′（x）≥0对x∈[0，1]恒成立，f（x）在[0，1]上单调递增，
∴f（x）min=f（0）=1，
当0＜a＜1时，由f′（x）=x2-a=0解得
若
∴f（x）在
若
∴f（x）在
∴f（x）在x=
综上所述，f（x）min=
（3）∵任意m∈R，直线y=-x+m都不是曲线y=f（x）的切线，
∴f′（x）=x2-a≠-1对x∈R恒成立，
即f′（x）=x2-a的最小值大于-1，
而f′（x）=x2-a的最小值为f′（0）=-a，
∴-a＞-1，故a＜1．
若函数f（x）=-x2+x的图象上一点（-1，-2）及邻近一点（-1+△x，-2+△y），则
正确答案
解析
解：
故选D．
若函数f（x）=x2+2x+a（a∈R，x＜0）图象上两点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））（x1＜x2）处的切线相互垂直，则x2-x1的最小值为______．
正确答案
1
解析
解：根据导数的几何意义，得：
f′（x1）f′（x2）=-1，
即（2x1+2）（2x2+2）=-1（x1＜x2＜0），
所以（2x1+2）＜0，（2x2+2）＞0，
且[-（2x1+2）]（2x2+2）=1，
因此x2-x1=
当且仅当-（2x1+2）=（2x2+2）=1，
即
所以x2-x1的最小值为1．
故答案为：1．
在曲线y=x2+1的图象上取一点（1，2）及附近一点（1+△x，2+△y），则
正确答案
△x+2
解析
解：
则
故答案为：△x+2．
函数f（x）=x2在区间[-1，3]上的平均变化率是（ ）
A4
B2
C
D
正确答案
解析
解：∵f（x）=x2，∴f（-1）=1，f（3）=9
∴该函数在区间[-1，3]上的平均变化率为
故选B．
在给出的四个函数y=3x，y=x3，y=3x，y=log3x中，当x∈（3，+∞）时，其中增长速度最快的函数是（ ）
正确答案
解析
解：当x∈（3，+∞）时，由于函数y=3x的导数等于3，y=x3，的导数等于3x2＞27，
y=3x，的导数等于3xln3＞27，y=log3x中的导数等于
故y=log3x在（3，+∞）上的导数值最小，函数y=3x的导数值最大．
而函数在任意一点的导数值等于函数的曲线在该点的切线的斜率，故其中增长速度最快的函数是y=3x，
故选C．
设f（x）在点x处可导，a、b为非零常数，则
Af′（x）
B（a-b）f′（x）
C（a+b）f′（x）
D
正确答案
解析
解：
=
=
=af′（x）+bf′（x）=（a+b）f′（x）
故选C
在导数的定义中，自变量x的增量△x（ ）
正确答案
解析
解：导数的定义：y‘=
其中△x=x2-x1，△y=f（x2）-f（x1），（x1＜x2）
由这个定义，可得自变量x的增量△x一定是正数，
函数值y的增量△y则不一定
故选：A
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