- 导数及其应用
- 共31591题
落在平静水面上的石头，使水面产生同心圆形波纹，在持续的一段时何内，若外围圈波的半径r（单位：m）与时间t（单位：s）的函数关系是r=8t．则在2s末，扰动水面面积的变化率为（ ）
正确答案
解析
解：在2s末，扰动水面面积的变化率为π•162=256π．
故选：C．
曲线
正确答案
π-2eπ-1
解析
解：∵曲线
∴
故答案为π-2eπ-1．
正确答案
解析
解：对于A、B，∵f（x）在a到b之间的平均变化率是
g（x）在a到b之间的平均变化率是
∴
∴选项A、B错误；
对于C、D，∵函数f（x）在x=x0处的瞬时变化率是函数f（x）在x=x0处的导数，
即函数f（x）在该点处的切线的斜率，
同理函数g（x）在x=x0处的瞬时变化率是函数g（x）在x=x0处的导数，
即函数g（x）在x=x0处的切线的斜率，
由图形知，选项C错误，D正确．
故选：D．
已知某质点的位移s与移动时间t满足s=t2•e2t-4，则质点在t=2的瞬时速度是______．
正确答案
12m/s
解析
解：∵质点的运动方程为s=t2•e2t-4
∴s′=2t•e2t-4+t2•2e2t-4
∴当t=2秒时，s‘=12
故答案为：12m/s．
函数f（x）=x3+ax在（1，2）处的切线方程为 ______．
正确答案
y=4x-2
解析
解：∵点（1，2）在函数f（x）=x3+ax的图象上
∴f（1）=1+a=2即a=1
f‘（x）=3x2+1
∴f'（1）=3+1=4
∴函数f（x）=x3+ax在（1，2）处的切线方程为y-2=4（x-1）
故答案为：y=4x-2
设直线
正确答案
解析
解：设切点为（x0，y0），而y=sinx的导数为y=cosx，
在切点处的切线方程为y-y0=cosx0（x-x0）
即y=cosx0（x-x0）+sinx0
即得斜率为k=cosx0=
∵x∈（0，π），∴x0=
∴y0=
代入直线方程
故答案为：
曲线y=ex在点（2，e2）处的切线斜率为（ ）
A
B2e2
Ce2
D
正确答案
解析
解：求导数可得y′=ex，当x=2时，y′=e2，
∴曲线y=ex在点（2，e2）处的切线斜率为e2，
故选C．
曲线f（x）=x•sinx-cosx在x=
正确答案
2
解析
解：对f（x）求导数，得f‘（x）=1×sinx+xcosx-（-snx）=2sinx+xcosx
∴f'（
即曲线f（x）=x•sinx-cosx在x=
故答案为：2
已知点P在曲线y=
A[0，
B
C
D
正确答案
解析
解：根据题意得f′（x）=-
∵k=-
则曲线y=f（x）上切点处的切线的斜率k≥-
又∵k=tanα，
∴α∈[
故选D．
曲线y=f（x）在点（1，f（1））的切线方程为：y=2x-3，则f（1）+f′（1）=______．
正确答案
1
解析
解：∵曲线y=f（x）在以点P（1，f（1））为切点的切线方程为y=2x-3，斜率k=2
∴f′（1）=2
点（1，f（1））在切线上，可求出f（1）=-1
∴f（1）+f′（1）=1
故答案为：1．
已知质点按规律s=2t2+4t（距离单位：m，时间单位：s）运动，则其在t=3s时的瞬时速度为（ ）（单位：m/s）．
正确答案
解析
解：∵s=2t2+4t，
∴s‘=s'（t）=4t+4
∴当t=3时，s'（3）=4×3+4=16，
故选：D
若f′（x）=3，则
A3
B
C-1
D1
正确答案
解析
解：
故选：C．
对于函数y=
正确答案
解析
解；∵函数y=
∴△y=
∵△x=1，
∴△y=
不确定，故选：D
物体运动的方程是s（t）=
A
B
C-
D-
正确答案
解析
解：∵v=s′=-
∴当t=3s时的瞬时速度v=
故选：C．
f（x）=x2，g（x）=2x，h（x）=log2x，当x∈（4，+∞）时，三个函数增长速度比较，其大小关系是______．
正确答案
g（x）＞f（x）＞h（x）
解析
解：∵f（x）=x2，g（x）=2x，h（x）=log2x
∴f‘（x）=2x，g'（x）=2xln2，h'（x）=
当x＞4时，2xln2＞2x＞
∴g'（x）＞f'（x）＞h'（x）
故三个函数的增长速度为g（x）＞f（x）＞h（x）
故答案为：g（x）＞f（x）＞h（x）
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