导数及其应用_章节学习

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题型：单选题

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单选题

物体运动方程为s=t4-3，则t=5时的瞬时速率为（　　）

A5m/s

B25m/s

C125m/s

D625m/s

正确答案

C

解析

解：根据题意可得：一物体的运动方程为s=t4-3，

所以s′=t3，即物体运动的速度为：s′=t3，

所以当t=5时物体的瞬时速度为：s′|t=5=125．

故选C．

1

题型：填空题

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填空题

一点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的距离为s=t4-t3+7t2-8t，则速度为零的时刻是______．

正确答案

1秒、2秒和4秒

解析

解：求导函数s′=t3-7t2+14t-8=（t-1）（t2-6t+8）

令s′=0，可得（t-1）（t2-6t+8）=0

∴t=1或2或4．

故答案为：1秒、2秒和4秒．

1

题型：单选题

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单选题

已知物体的运动方程是（t表示时间，单位：秒；s表示位移，单位：米），则瞬时速度为0米每秒的时刻是（　　）

A0秒、2秒或4秒

B0秒、2秒或16秒

C2秒、8秒或16秒

D0秒、4秒或8秒

正确答案

D

解析

解：s′=t3-12t2+32t

令s′=t3-12t2+32t=0得

t=0或 t=4或t=8

故选项为D

1

题型：单选题

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单选题

某机器人的运动方程为（t是时间，s是位移），则该机器人在时刻t=2是的瞬时速度为（　　）

A

B3

C

D

正确答案

C

解析

解：∵，

∴s‘=2t-

当t=2时，v=s'=．

故选C．

1

题型：单选题

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单选题

若质点M按规律s=t3-2t运动，则t=3秒时的瞬时速度为（　　）

A7

B11

C25

D29

正确答案

C

解析

解：∵质点按规律s=t3-2t（距离单位：m，时间单位：s）运动，

∴s′=3t2-2

∵s′|t=3=3•（3）2-2=25

∴质点在3s时的瞬时速度为25m∕s

故选C．

1

题型：单选题

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单选题

若存在过点（1，0）的直线与曲线y=x3和都相切，则a等于（　　）

A-1或

B-1或

C或

D或7

正确答案

A

解析

解：由y=x3⇒y‘=3x2，设曲线y=x3上任意一点（x0，x03）处的切线方程为y-x03=3x02（x-x0），（1，0）代入方程得x0=0或

①当x0=0时，切线方程为y=0，此直线是y=x3的切线，故仅有一解，由△=0，解得a=-

②当时，切线方程为，由，

∴a=-1或a=．

故选A

1

题型：单选题

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单选题

物体运动方程为，则t=2时瞬时速度为（　　）

A2

B4

C6

D8

正确答案

D

解析

解：∵，∴S′=t3，当t=2时，S′=23=8，

故选D

1

题型：单选题

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单选题

一质点做直线运动，由始点经过ts后的距离为，则速度为0的时刻是（　　）

At=4s

Bt=8s

Ct=4s与t=8s

Dt=0s与t=4s

正确答案

C

解析

解：∵s′=t2-12t+32

令t2-12t+32=0

解得t=4或t=8

故选C

1

题型：填空题

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填空题

如图，函数f（x）的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为（0，4），（2，0），（4，4）则=______．

正确答案

-2

解析

解：由导数的定义可知=f′（1），

又f′（1）即为曲线在x=1处的切线斜率，

∴由图象可知f′（1）==-2，

∴=-2；

故答案为：-2．

1

题型：填空题

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填空题

已知质点按规律s=3t2+t（距离单位：米；时间单位：秒）运动，那么质点在3秒时的瞬时速度为______米/秒．

正确答案

19

解析

解：∵质点的运动方程为s=3t2+t

∴s′=6t+1

∴该质点在t=3秒的瞬时速度为6×3+1=19

故答案为：19

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题型：填空题

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填空题

物体沿直线运动过程中，位移s与时间t的关系式是s（t）=3t2+t．我们计算在t=2的附近区间[2，2+△t]内的平均速度=______，当△t趋近于0时，平均速度趋近于确定的值，即瞬时速度，由此可得到t=2时的瞬时速度大小为______．

正确答案

13+3△t

13

解析

解：平均速度为 =13+3△t

当t=2时，v=s′|t=2=1+2×6=13，

故答案为13+3△t，13．

1

题型：单选题

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单选题

曲线f（x）=（ax-1）lnx在x=1处的切线倾斜角为，则a等于（　　）

A2

B3

C

D1

正确答案

A

解析

解：求导函数可得f′（x）=alnx+a-

∵函数f（x）=（ax-1）lnx在x=1处的切线倾斜角为，

∴f′（1）=1，

∴a-1=1，

∴a=2．

故选：A．

1

题型：简答题

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简答题

点A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线C：x2=2y上的不同两点，过A，B分别作抛物线C的切线，两条切线交于点P（x0，y0）．

（1）求证：x0是x1与x2的等差中项；

（2）若直线AB过定点M（0，1），求证：原点O是△PAB的垂心；

（3）在（2）的条件下，求△PAB的重心G的轨迹方程．

正确答案

解：（1）对x2=2y求导　　得y‘=x，

所以直线PA：y=x1（x-x1）+y1，即

同理，直线，解得

所以x0是x1与x2的等差中项；（5分）

（2）设直线AB：y=kx+1，代入x2=2y整理得x2-2kx-2=0．

∴，得

∴即AB⊥OP；kAP=x1，

∴，

∴AP⊥OB，同理BP⊥OA，

所以原点O是△PAB的垂心；（（10分），只需证明两个垂直就得满分）

（3）设△PAB的重心G（x，y），则，

因为k∈R，所以点G的轨迹方程为．（15分）

解析

解：（1）对x2=2y求导　　得y‘=x，

所以直线PA：y=x1（x-x1）+y1，即

同理，直线，解得

所以x0是x1与x2的等差中项；（5分）

（2）设直线AB：y=kx+1，代入x2=2y整理得x2-2kx-2=0．

∴，得

∴即AB⊥OP；kAP=x1，

∴，

∴AP⊥OB，同理BP⊥OA，

所以原点O是△PAB的垂心；（（10分），只需证明两个垂直就得满分）

（3）设△PAB的重心G（x，y），则，

因为k∈R，所以点G的轨迹方程为．（15分）

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题型：单选题

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单选题

已知函数f（x）=2x2-1的图象上一点（1，1）及邻近一点（1+△x，f（1+△x）），则等（　　）

A4

B4+2△x

C4+2（△x）2

D4x

正确答案

B

解析

解：∵△y=[2（1+△x）2-1]-1=2△x2+4△x，

∴=4+2△x，

故选：B．

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题型：填空题

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填空题

变速运动的物体的速度为v（t）=1-t2m/s（其中t为时间，单位：s），则它在前2s内所走过的路程为______m．

正确答案

2

解析

解：由v（t）=1-t2，得v0=1，v2=1-22=-3．

所以a=．

因为速度为0时物体运动1s，位移为．

所以物体在地2s内用1s的时间回到了原来的位置，

则物体在前2s内走过的路程为2m．

故答案为2．

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