热门试卷

(1) ，.  (2) 在上是存在极值点

试题分析：

(1)分析题意,可得该三次函数过原点,根据函数与x轴相切,所以有个极值为0且有一个重根,故可得函数有一个极大值0和一个极小值,有一个重根,则对因式分解会得到完全平方式,即提取x的公因式后,剩下二次式的判别,得到a,b之间的关系式,再根据极小值为,则求导求出极小值点,得到关于a,b的另外一个等式,即可求出a,b的值.

(2) ①对求导,带入与已知条件联立化简即可得到需要的不等式.

②求出,讨论a的取值范围,证明其中必有两者异号,则根据零点存在定理,即可证明有极值点.

试题解析：

（1），

依据题意得：，且．             2分

，得或．

如图，得,

∴，，

代入得，.              4分

（2）①．

．           8分

②，．

若，则，由①知，

所以在有零点，从而在上存在极值点．          10分

若，由①知;

又，

所以在有零点，从而在上存在极值点．……12分

若，由①知，，

所以在有零点，从而在上存在极值点．

综上知在上是存在极值点．                 14分

，

令，得，

．

又．

．

（1）∵f（x）=ax3+bx2的图象经过点M（1，4），∴a+b=4①式 …（1分）

f'（x）=3ax2+2bx，则f'（1）=3a+2b…（3分）

由条件f′(1)•(-)=-1，即3a+2b=9②式…（5分）

由①②式解得a=1，b=3

（2）f（x）=x3+3x2，f'（x）=3x2+6x，

令f'（x）=3x2+6x≥0得x≥0或x≤-2，…（8分）

∵函数f（x）在区间[m，m+1]上单调递增

∴[m，m+1]⊆（-∝，-2]∪[0，+∝）

∴m≥0或m+1≤-2

∴m≥0或m≤-3

（1），，（2）

试题分析：（1）在处的切线切线斜率为，由导数的几何意义可知，将代入切线方程可得即又因为，解以上三个方程组成的方程组可得的值。（2）由（1）可知函数的解析式，从而可得函数解析式。将其求导可得，令，可将问题转化为函数在内有极值，即应有2个根（判别式应大于0），但在内至少有一个根（故应分两种情况讨论）。因为，所以在内有一个根时应有，在内有两个根时应因为，则且顶点纵坐标小于0

（1）由题设知，的定义域为,,

因为在处的切线方程为，

所以,且，即,且,

又 ，解得，， 

（2）由（Ⅰ）知

因此， 

所以 

令.

（ⅰ）当函数在内有一个极值时，在内有且仅有一个根，即在内有且仅有一个根，又因为，当，即时，在内有且仅有一个根，当时，应有，即，解得，所以有.

（ⅱ）当函数在内有两个极值时，在内有两个根，即二次函数在内有两个不等根，

所以，解得.   

综上，实数的取值范围是

（1）y＝4x3－20x2＋33x－17，(1≤x≤2)（2）不能

试题分析：（1）根据收益等于单件利润与销售量的乘积，列等量关系.注意今年销售量等于原销售量与新增的年销量之和，另外还要注意交代函数定义域；y＝[1＋4(x－2)2](x－1)＝4x3－20x2＋33x－17，(1≤x≤2)．（2）本题实际需求本年收益范围，即需求函数y＝4x3－20x2＋33x－17，1≤x≤2的值域，这可借助于导数研究.

求导后可知函数图像先增后减再增，因此其最大值在极大值及处取到，比较大小知f(x)在区间[1，2]上的最大值为f(2)＝1，即为往年的收益，所以商户甲采取降低单价，提高销量的营销策略不能获得比往年更大的收益．

试题解析：解 （1）由题意知，今年的年销售量为1＋4(x－2)2 (万件)．

因为每销售一件，商户甲可获利(x－1)元，所以今年商户甲的收益y＝[1＋4(x－2)2](x－1)

＝4x3－20x2＋33x－17，(1≤x≤2)．  4分

（2）由（1）知y＝4x3－20x2＋33x－17，1≤x≤2， 从而y′＝12x2－40x＋33＝(2x－3)(6x－11)．

令y′＝0，解得x＝，或x＝．列表如下：

 7分

又f()＝1，f(2)＝1，所以f(x)在区间[1，2]上的最大值为1(万元)．

而往年的收益为(2－1)×1＝1(万元)，

所以，商户甲采取降低单价，提高销量的营销策略不能获得比往年更大的收益．

10分

⑴， ………………2分

令，得，

∴的增区间为和， …………………4分

令，得，

∴的减区间为．     ……………………6分

⑵因为，令，得，或，

又由⑴知，，分别为的极小值点和极大值点，  ………8分

∵，，，

∴，   ……………………………11分

∴．  ……………………………12分

略

（1）由题对f（x）求导得，f'（x）=3ax2+x-2

∵过点(-，f(-))的切线与直线y=-2x+1平行，

∴f(-)=3a•--2=-2⇒a=1，

又∵函数的图象过原点，

∴f（0）=0⇒c=0，∴f（x）=x3+x2-2x

∴f′（x）=3x2+x-2

令f′（x）=0得x=或x=-1，

则有x∈(-∞，-1)，x∈(，+∞)时，f'（x）＞0，f（x）递增，

当x∈(-1，)时，f'（x）＜0，f（x）递减，

∴f（x）极大值=f(-1)=，f（x）极小值=f()=-

（2）由（1）知f（x）=x3+x2-2x，又已知三个交点中有一个横坐标为-1，

则有(-1)3+(-1)2+2=b+1+d⇒d=-(b-1)①

∴方程为x3+x2-2x=bx2-x-(b-1)

即：x3+(1-b)x2-x+(b-1)=0，恒有含x=-1的三个不等实根．

运用待定系数法得：x3+(1-b)x2-x+(b-1)=(x+1)(x3-(b+1)x+(b-1))=0

∴方程x2-(b+1)x+(b-1)=0有两个异于x=-1的不等式的根．

∴

∴b≠-1，且b≠3

故实数b的取值范围是（-∞，-1）∪（-1，3）∪（3，+∞）．

y′=2x+b，k=y′|x=2=4+b=2，

∴b=-2．又当x=2时，y=22+（-2）×2+c=c，代入y=2x，得c=4．

∴常数b和c分别为：-2，4．

∵y=x2-2x+2，∴y′=2x-2，∴tanα=2×2-2=2，

又∵y=x3-3x2+x+5，∴y′=3x2-6x+，∴tanβ=3×22-6×2+=，

∴tanαtanβ=1，即tanβ=cotα，由0＜α、β＜得β=-α，

∴α+β=＜，tan=1且sin=sin=．