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解：f′（x）=x2+2ax+2a﹣1

（1）∵f'（﹣3）=0，∴9﹣6a+2a﹣1=0， 解得：a=2；

（2）f'（x）=（x+1）（x+2a﹣1），

∵a＞1，由f'（x）=（x+1）（x+2a﹣1）＞0得x＜1﹣2a或x＞﹣1，

所以f（x）的单调增区间为（﹣∞，1﹣2a）和（﹣1，+∞）；

由f'（x）=（x+1）（x+2a﹣1）＜0得1﹣2a＜x＜﹣1，

所以f（x）的单调减区间为（1﹣2a，﹣1）；

且x=1﹣2a是极大值点，x=﹣1是极小值点；

（3）∵g（x）=f'（x）是偶函数，∴a=0

∴，

设曲线线 过点的切线相切于点P（x0， ），

则切线的斜率 k=x02﹣1，

∴切线方程为y﹣（）=（x02﹣1）（x﹣x0），

∴点A（1，m）在切线上，

∴m﹣（）=（x02﹣1）（1﹣x0），

解得m=

令h（x）=，

则h′（x）=﹣2x2+2x=2x（1﹣x）=0，

解得x=0，x=1

当x=0时，

h（x）取极小值﹣1，

当x=1时，h（x）取极大值﹣，

∴实数m的取值范围是﹣1＜m＜﹣．

解：（1）由已知得，

∴

又f（0）=﹣2

∴

∴m=﹣1，

∴f（x）=ln（x+1）﹣2．

（2）由（1）得

定义域为（﹣1，+∞），

∴．

∵a≠0

令g'（x）=0得

①当a＞0时，

且在区间上g′（x）＞0，在区上g′（x）＜0．∴处取得极小值，也是最小值．

∴

由a+a（﹣lna﹣2）＞0得．∴．

②当a＜0时，

在区间（﹣1，+∞）上，g′（x）＜0恒成立．

g（x）在区间（﹣1，+∞）上单调递减，没有最值

综上得，a的取值范围是．

解：（Ⅰ）∵，

∴，

所以，y=的最小正周期为T=2π。

（Ⅱ）

，

∵，

∴，∴，

∴函数F(x)的值域为。

解：（Ⅰ），

由题得，即，

此时，

；

由f（x）无极值点且f′（x）存在零点，

得，

解得，

于是，；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

要使函数f（x）有两个极值点，

只要方程有两个不等正根，

那么实数a应满足 ，解得，

设两正根为，且，

可知当时有极小值，

其中这里

由于对称轴为，所以，

且，得，

记，，

有对恒成立，

又，故对恒有，即，

所以有

而对于恒成立，

即在上单调递增，

故。

解：(Ⅰ)①证明：当λ1=1，λ2=0时，f′(x)=a2+（b-1）x+1，

x1，x2是方程f′(x)=0的两个根，

由x1＜1＜x2＜2且a＞0得，即，

所以f′（-1）=a-b+2=-3(a+b)+(4a+2b-1)+3＞3。

②设f′（x）=a(x-x1)(x-x2)，所以，

易知，

所以，，

当且仅当时，即时取等号，

所以，，

易知当a=2时，h（a）有最大值，即。

(Ⅱ)①当时，，

所以，，，

容易知道，y′是单调增函数，且x=1是它的一个零点，即也是唯一的零点，

当x＞1时，y′＞0；当x＜1时，y′＜0，

故当x=1时，函数有最小值为-3ln3。

②由①知，

当x分别取a，b，c时有

，

三式相加即得。

（1）解：，=

∴g（x）在[0，1]上单调减，在[1，2]上单调增

∵g（0）=0，g（1）=，g（2）=﹣1+ln3

∴g（x）在[0，2]上的最大值为﹣1+ln3，最小值为0

（2）证明：函数的定义域为（﹣1，+∞）

构造函数h（x）=f（x）﹣x，∴h′（x）=

∴函数在（﹣1，0）上单调增，在（0，+∞）上单调减

∴在x=0处，函数取得极大值，也是最大值

∴h（x）≤h（0）=0

∴f（x）﹣x≤0

∵x＞0，∴

构造函数φ（x）=f（x）﹣，∴φ′（x）= 

∴函数在（﹣1，0）上单调减，在（0，+∞）上单调增

∴在x=0处，函数取得极小，也是最小值

∴φ（x）≥φ（0）=0 

∴f（x）﹣ ≥0

∵x＞0，∴ 

∴ 

（3）证明：∵f（x）=ln（x+1），

∴f（n）﹣f（n﹣1）=f（ ）

由（2）知： 

∴ 

∴ ，， ，…， 

叠加可得： 

解：（1）当a=0时，，∴f(3)=1，

∵，曲线在点（3，1）处的切线的斜率，

∴所求的切线方程为y-1=3（x-3），即y=3x-8。

（2）当a=-1时，函数，

∵，令f′(x)=0得，，

当x∈（0，1）时，f′(x)＜0，即函数y=f(x)在（0，1）上单调递减，

当x∈（1，4）时，f′(x)＞0，即函数y=f(x)在（1，4）上单调递增，

∴函数y=f(x)在[0，4]上有最小值，；

又，

∴当a=-1时，函数y=f(x)在[0，4]上的最大值和最小值分别为。

（3）∵，

∴，

①当时，3a=a+2，解得a=1，这时，

函数y=f′(x)在（0，4）上有唯一的零点，故a=1为所求；

②当时，即，这时，

又函数y=f′(x)在（0，4）上有唯一的零点，

∴；

③当时，即a＜1，这时，

又函数y=f′(x)在（0，4）上有唯一的零点，

∴，

综上得当函数y=f′(x)在（0，4）上有唯一的零点时，或或a=1。

解：（Ⅰ）由三点共线知识，

∵，

∴，

∵A﹑B﹑C三点共线，

∴，

∴，

∴，，

∴f(x)=ln(x+1)。

（Ⅱ）令g（x）=f（x）-，

由，

∵x>0，

∴，

∴g(x)在 (0，+∞)上是增函数，

故g(x)>g(0)=0，即f(x)>。

（Ⅲ）原不等式等价于，

令h（x）==，

由

当x∈[-1，1]时，[h(x)]max=0，

∴m2-2bm-3≥0，

令Q(b)= m2-2bm-3，

则由Q(1)≥0及Q(-1)≥0，解得m≤-3或m≥3。

解：（1）由原式得f（x）=x3﹣ax2﹣4x+4a，

∴f'（x）=3x2﹣2ax﹣4．

（2）由f'（﹣1）=0得，

此时有．

由f'（x）=0得或x=﹣1，

又，

所以f（x）在[﹣2，2]上的最大值为，最小值为．

（3）f'（x）=3x2﹣2ax﹣4的图象为开口向上且过点（0，﹣4）的抛物线，

由条件得f'（﹣2）≥0，f'（2）≥0，

∴﹣2≤a≤2．

所以a的取值范围为[﹣2，2]．

解：(1)（1，25）；

(2)50。

解：由f（-1）=2得a-b+c=2，

又f′（x）=2ax+b，

∴f′（0）=b=0，

而

∴

由①②③式得a=6，b=0，c=-4。

(Ⅰ)解：，

依题意知，方程f′(x)=0有两个根x1、x2，且

等价于f′(-1)≥0，f(0)≤0，f′(1)≤0，f′(2)≥0，

由此得b、c满足的约束条件为，

满足这些条件的点(b，c)的区域为图中阴影部分，

(Ⅱ)由题设知，

故，

于是，

由于，而由(Ⅰ)知c≤0，故，

又由(Ⅰ)知-2≤c≤0，所以。

解：（1）f'（x）=x2+ax+b，由已知可得a=﹣1，b=c=﹣3

（2），

当n=1时，；

当n=2时，；

当n≥3时，．

所以F（1）+F（2）+F（3）+…+F（n）＜F（1）+F（2）+…+=（1++﹣﹣﹣ ）＜ （1++ ）=，

所以F（1）+F（2）+F（3）+…+F（n）＜N*）

（3）根据题设，可令f'（x）=（x﹣α）（x﹣β）．

∴f'（1）f'（2）=（1﹣α）（1﹣β）（2﹣α）（2﹣β）=，

∴，或，

所以存在n0=1或2，使

解：（1）f'（x）=x2+ax+b，由已知可得a=﹣1，b=c=﹣3

（2），

当n=1时，；

当n=2时，；

当n≧3时，．

所以F（1）+F（2）+F（3）+…+F（n）＜

F（1）+F（2）+…+

=（1++﹣﹣﹣ ）＜ （1++ ）=，

所以F（1）+F（2）+F（3）+…+F（n）＜N*）．

（3）根据题设，可令f'（x）=（x﹣α）（x﹣β）．

∴f'（1）·f'（2）=（1﹣α）（1﹣β）（2﹣α）（2﹣β）=，

∴，或，

所以存在n0=1或2，使．