- 导数及其应用
- 共31591题
已知二次函数f（x）=ax2+bx的图像过点（4n，0），且f′（0）=2n，n∈N*。
（1）若数列{an}满足
（2）若数列{bn}满足：
求证：①b2n
②b1+b2+b3+…+bn>
正确答案
解：（1）
∴
数列{an}满足
又
∵
∴
当n=1时，a1也符合；
（2）①由
由
即
∴
∴
由
∵
∴
②由
所以
已知函数
（1）当
（2）若
（3）在（2）的条件下，求直线
正确答案
解：（1）∵
（2）由（1）知，当
∴当
∴
（3）由
已知函数f（x）=-x3+3f′（2）x，令n=f′（2），则二项式
正确答案
5
设f（x）=（2x+5）6，则f（x）的导函数f′（x）展开式中x3的系数为（ ）。
正确答案
24000
已知抛物线G的顶点在原点，焦点在y轴正半轴上，点P(m，4)到其准线的距离等于5，
(Ⅰ)求抛物线G的方程；
( Ⅱ)如图，过抛物线G的焦点的直线依次与抛物线G及圆x2+(y-1)2=1交于A，C，D，B四点，试证明|AC|·
|BD|为定值；
(Ⅲ)过A，B分别作抛物线G的切线l1，l2，且l1，l2交于点M，试求△ACM与△BDM面积之和的最小值．
正确答案
解：(Ⅰ)由题知，抛物线的准线方程为y+l=0，
所以抛物线G的方程为x2=4y。
(Ⅱ)设直线AB方程y=kx+1交抛物线C于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由抛物线定义知|AF|=y1+1，|BF|=y2+l，
所以，|AC|=y1，|BD|=y2，
由
显然△＞0，则
所以，
(Ⅲ)由
直线AM的方程为
直线BM的方程为
由②-①，得
所以
所以点M的坐标为（2k，-1），
点M到直线AB的距离
弦AB长为
△ACM与△BDM面积之和
当k=0时，AB方程为y=1时，△ACM与△BDM面积之和最小值为2。
已知函数f（x）=x2+2x。
（1）数列{an}满足：a1=1，an+1=
（2）已知数列{bn}满足b1=t>0，bn+1=f（bn）（n∈N*），求数列{bn}的通项公式；
（3）设
正确答案
解：（1）f'（x）=2x+2
∴
∴
{an+2}为等比数列
∴
∴
（2）由已知，得
∴
又lg（b1+1）=lg（t+1）≠0，
所以{lg（bn+1）}是公比为2的等比数列
∴
（3）∵
∴
∴Sn=c1+c2+…+cn
∵t>0，
∴t+1>1，
∴Sn在n∈[1，+∞）上是增函数，
∴
又不等式λ＜Sn对所有的正整数n恒成立，
故λ的取值范围是
已知函数f（x）=e-x（cosx+sinx），将满足f′（x）=0的所有正数x从小到大排成数列{xn}。
（1）证明数列{f{xn}}为等比数列；
（2）记Sn是数列{xnf{xn}}的前n项和，求
正确答案
解：（1）
由
解出
从而
所以数列
（2）
因为
所以
已知点列B1（1，b1），B2（2，b2），…，Bn（n，bn），…（n∈N）顺次为抛物线y=
（1）求数列{an}，{cn}的通项公式；
（2）是否存在n使等腰三角形AnBnCn为直角三角形，
若有，请求出n；若没有，请说明理由．
（3）设数列{
正确答案
解：∵y=
∴点Bn（n，bn）作抛物线y=
令y=0，则x=
∵点An，Bn，Cn构成以点Bn为顶点的等腰三角形，
∴an+cn=2n，∴cn=2n﹣an=
（2）解：若等腰三角形AnBnCn为直角三角形，
则|AnCn|=2bn∴n=
∴存在n=2，使等腰三角形A2B2C2为直角三角形
（3）证明：∵
Sn=
又1﹣
∴当n=1时，Sn的最小值为：
∴
数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=
（Ⅰ）写出Sn与Sn-1的递推关系式（n≥2），并求Sn关于n的表达式；
（Ⅱ）设fn（x）=
正确答案
解：（Ⅰ）由
即
所以
由
又
所以
（Ⅱ）由
而
定义域为R的函数f（x）对任意x∈R都有f（x）=f（4-x），且其导函数f′（x）满足（x-2）f′（x）＞0，则当2＜a＜4时，有（ ）
正确答案
已知定义在R上的函数f（x），满足f′（x）＞-1，f（0）=-2，则不等式f（x）+2ex+x＜0的解集为（ ）
正确答案
设函数f（x）=x2+bx+c（x∈R）且f′（x）+f（x）＞0恒成立，则对∀a∈（0，+∞），下面不等式恒成立的是（ ）
正确答案
已知定义在实数集R上的函数f（x）满足f（1）=2，且f（x）的导数f'（x）在R上恒有f'（x）＜1（x∈R），则不等式f（x）＜x+1的解集为（ ）
正确答案
函数f（x）在R上可导，且f（x）=x2f′（2）-3x，则f（-1）与f（1）的大小关系是（ ）
正确答案
设在[0，1]上的函数f（x）的曲线连续，且f′（x）＞0，则下列一定成立的是（ ）
正确答案
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