热门试卷

（Ⅰ）（Ⅱ）函数不存在“中值相依切线”，理由见解析。

解：(Ⅰ)(1)当时，，直线与轴的交点为，即函数的零点为0，不在原点右侧，不满足条件.     (1分)

(2)当时，，抛物线的顶点为，即函数的零点为0，不在原点右侧，不满足条件.           (2分)

（3）当时，，抛物线开口向上且过原点，对称轴，所以抛物线与轴的另一交点在对称轴的左侧，故函数的零点不在原点右侧，不满足条件.       (3分)

（4）当时，，抛物线开口向上且过原点，对称轴，所以抛物线与轴的另一交点在对称轴的右侧，故函数有一个零点在原点右侧，满足条件.          (4分)

（5）当时，，抛物线开口向下且过原点，对称轴，所以抛物线与轴的另一交点在对称轴的右侧，故函数有一个零点在原点右侧，满足条件.                        (5分)

综上可得，实数的取值范围是.           (6分)

(Ⅱ)假设函数存在“中值相依切线”.

设,是曲线上的不同两点，且，

则，.

          （8分）

曲线在点处的切线斜率

，       （9分）

依题意得：.

化简可得： ， 即=.    （11分）

设 ()，上式化为：, 即.   （12分）

令,.

因为,显然，所以在上递增,显然有恒成立.

所以在内不存在,使得成立.

综上所述，假设不成立.所以，函数不存在“中值相依切线”.            （14分）

当时，等腰三角形的面积最大．

本试题主要考查了导数解决实际问题的中的最值问题的运用。

利用已知条件设出变量，然后表示半径为R的圆内，作内接等腰三角形的面积，结合导数的思想得到极值，进而得到最值。

如图，设圆内接等腰三角形的底边长为，高为，

那么

，

解得，于是内接三角形的面积为：

，

从而

，

令，解得，由于不考虑不存在的情况，所在区间上列表示如下：

由此表可知，当时，等腰三角形的面积最大．

（1）；（2）.

本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用，求解函数单调区间的运用。

解：（Ⅰ）

则可得：……………………6分

（Ⅱ）由函数在区间上单调递增

则对一切的恒成立

即恒成立，令

当时取=，所以 ……………………13分

解：（1）若，则 ,∴在上单调递增……4分（2）              ………………6分

①若，则；当时，；当时，

在，（，内单调递增， 在内单调递减

的极大值为,

的图象与轴只有一个交点                                ……………9分

②若，则 ,∴在上单调递增,

又 的图象与轴有且只有一个交点 ………10分

③若，  当或时，；当时，  在，（1，内单调递增，在内单调递减

的极大值为, 

的图象与轴只有一个公共点                             ……………13分

综上所述，当时，的图象与轴有且只有一个公共点      ……………14分

略

建立以AB为x轴，AD为y轴的坐标系                      1分

将F(2,-4)代入抛物线方程得方程为      3分

设，则      7分

方程为                                         9分

梯形面积                   11分

                                           13分

当时，                                     16分

略

解：（I） ∵m=3

∴,∴

故曲线在点（0，）处的切线方程为：y=3     4分

（II）由（I）知，要使函数在有两个极值点，只要方程有两个不等负根，那么实数m应满足，解得        8分

设两负根为，则，可只当时有极小值，由于对称轴为，

，

∴，，

 ∵

在上单调递增

∴

(I)可求出即在点(0,f(0))处切线的斜率,然后写出点斜式方程,再化成一般式即可.

(II)解决本小题的关键是把题目条件若函数上有两个极值点转化为

有两个不等的负根,从而借助韦达定理及差别式即可求解.

略

此题是一道应用题，主要还是考查导数的定义及利用导数来求区间函数的最值，利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力，解题的关键是求导要精确．

求体积最大值的问题，由题意解出v的表达式，对函数v进行求导，解出极值点，然后根据极值点来确定函数v的单调区间，

因极值点是关于a，t的表达式，此时就需要讨论函数v的单调性，分别代入求出最大值，从而求解．

解：长方体的体积V(x)＝4x(x－a)2，(o＜x＜a)，…………………………2分

由≤ t 得　0＜x≤< a …………………4分

而V′＝12(x－)(x－a)  ∴V在（0，）增，在（，a）递减……………6分

因为为上的单调函数，而为正实数，故为上的单调递增函数

恒成立，即在上恒成立，因此

，结合解得

极值点的判定一定要结合该点两侧导数的符号，不可盲目下结论。同时还要注意“极值”与“极值点”的区别避免画蛇添足做无用功。

某区间（a,b）上连续可导函数单调性与函数导数符号之间的关系为：

若函数在区间（a,b）上单调递增（递减），则（）

若函数的导数（），则函数在区间（a,b）上单调递增（递减）

若函数的导数恒成立，则函数在区间（a,b）上为常数函数。

略

略

略