热门试卷

（I）由已知点（an+1，Sn+1）在直线y=4x-2上．

∴Sn+1=4（an+1）-2．

即Sn+1=4an+2．（n=1，2，3，）

∴Sn+2=4an+1+2．

两式相减，得Sn+2-Sn+1=4an+1-4an．

即an+2=4an+1-4an．（3分）

an+2-2an+1=2（an+1-2an）．

∵bn=an+1-2an，（n=1，2，3，）

∴bn+1=2bn．

由S2=a1+a2=4a1+2，a1=1．

解得a2=5，b1=a2-2a1=3．

∴数列{bn}是首项为3，公式为2的等比数列．（6分）

（II）由（I）知bn=3•2n-1，

∵f（x）=b1x+b2x2+…+bnxn，

∴f′（x）=b1+2b2x+…+nbnxn-1．

从而f′（1）=b1+2b2+…+nbn

=3+2•3•2+3•3•22+…+n•3•2n-1

=3（1+2•2+3•22+…+n•3•2n-1）（8分）

设Tn=1+2•2+3•22+…+n•2n-1，

2Tn=2+2•22+3•23+…+（n-1）•2n-1+n•2n．

两式相减，得-Tn=1+2+22+23+…+2n-1-n•2n

=-n•2n．

∴Tn=（n-1）•2n+1．

∴f′（1）=3（n-1）•2n+3．（11分）

由于f′（1）-（6n2-3n）=3[（n-1）•2n+1-2n2+n]

=3（n-1）[2n-（2n+1）]．

设g（n）=f′（1）-（6n2-3n）．

当n=1时，g（1）=0，∴f′（1）=6n2-3n；

当n=2时，g（2）=-3＜0，∴f′（1）＜6n2-3n；

当n≥3时，n-1＞0，又2n=（1+1）n=Cn0+Cn1+…+Cnn-1+Cnn≥2n+2＞2n+1，

∴（n-1）[2n-（2n+1）]＞0，即g（n）＞0，从而f′（1）＞6n2-3n．（14分）

=====-2

（Ⅰ）切线方程为；

（Ⅱ）单调减区间为，单调增区间为；

（Ⅲ）当时，没有零点.

试题分析：（Ⅰ）应用导数的几何意义，在切点处的导函数值，等于在该点的切线的斜率，求得斜率，                          利用直线方程的点斜式，求得曲线方程.

（Ⅱ）应用导数研究函数的单调性，遵循“求导数，求驻点，讨论各区间导数值的正负”.利用“表解法”形象直观，易以理解.解答此题，也可以通过解，分别确定函数的增区间、减区间.

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知函数的单调区间及函数取得极值的情况.

注意讨论的不同取值情况、、，根据函数的单调性即极值情况，确定的取值范围.

试题解析：解：（Ⅰ）当时，，               1分

，                                          3分

所以切线方程为                                 5分

（Ⅱ）                                           6分

当时，在时，所以的单调增区间是； 8分

当时，函数与在定义域上的情况如下：

                                                                10分

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知

①当时，是函数的单调增区间，且有，，

所以，此时函数有零点，不符合题意；                              11分

②当时，函数在定义域上没零点；                 12分

③当时，是函数的极小值，也是函数的最小值，

所以，当，即时，函数没有零点    13分

综上所述，当时，没有零点.                       14分

（Ⅰ），为所求． （Ⅱ）或．

（Ⅲ）当时，，函数为单调递增，极值点个数为0；

当时，此时方程有两个不相等的实数根，根据极值点的定义，

可知函数有两个极值点．

本试题主要考查了导数在研究函数中的运用。

（1）因为函数,为实数，.求解导数。判定单调性和最值，结合在区间上的最小值、最大值分别为、1得到参数、的值；

（2）在（Ⅰ）的条件下，先求解导数值，然后得到经过点且与曲线相切的直线的方程；

（Ⅲ）设函数，函数的极值点个数就是分析单调性来得到结论。

解：（Ⅰ）由，得，．

∵，，

∴ 当时，，递增；

当时，， 递减．

∴ 在区间上的最大值为，∴．……………………2分

又，，∴ ．

由题意得，即，得．

故，为所求．                 ………………………………4分

（Ⅱ）解：由（1）得，，点在曲线上．

⑴ 当切点为时，切线的斜率，

∴ 的方程为，即． ……………………5分

⑵当切点不是切点时，设切点为，

切线的斜率，

∴ 的方程为 ．

又点在上，∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，即，∴．

∴ 切线的方程为

故所求切线的方程为或．  ………………………………8分

（Ⅲ）解： ．

∴

二次函数的判别式为

，

令，得：

令，得    ………………………………10分

∵，，

∴当时，，函数为单调递增，极值点个数为0；

当时，此时方程有两个不相等的实数根，根据极值点的定义，

可知函数有两个极值点．               ………………………………12分

解：由函数得， …………3分

(Ⅰ) 若为区间上的“凸函数”，则有在区间上恒成立，由二次函数的图像，当且仅当

，

即． …………………………………………………7分

(Ⅱ)当时，恒成立当时，恒成立．…………………8分

当时，显然成立。   ………………………9分

当，

∵的最小值是．

∴．

从而解得      ……………………………………11分

当，

∵的最大值是，∴，

从而解得．                  ……………………………13分

综上可得，从而        ……………14分

略

(1) f(a) =(),g(a)= (2) f(a)<g(a)

(1)连结AA′、BB′、CC′,

则f(a)=S△AB′C=S梯形AA′C′C－S△AA′B′－S△CC′B

=(A′A+C′C)=(),

g(a)=S△A′BC′=A′C′·B′B=B′B=。

∴f(a)<g(a).

试题分析：由函数 满足可得. .所以数列为等差数列.又.所以可得公差为1.所以通项为.所以.所以数列的前项和为.

（1）（2）当时，函数在(0,1)上单调递增，在单调递减；当时，函数在单调递增，在单调递减；在上单调递增；当时，函数在上单调递增，当时，函数在上单调递增，在单调递减；在上单调递增（3）见解析

（1）依题意得，则

由函数的图象在点处的切线平行于轴得：

∴-------------------------------------3分

（2）由（1）得----------4分

∵函数的定义域为

∴当时，在上恒成立，

由得，由得，

即函数在(0,1)上单调递增，在单调递减；----------------5分

当时，令得或，

若，即时，由得或，由得，

即函数在，上单调递增，在单调递减；---------6分

若，即时，由得或，由得，

即函数在，上单调递增，在单调递减；------------7分

若，即时，在上恒有，

即函数在上单调递增， -----------------8分

综上得：当时，函数在(0,1)上单调递增，在单调递减；

当时，函数在单调递增，在单调递减；在上单调递增；

当时，函数在上单调递增，

当时，函数在上单调递增，在单调递减；在上单调递增．

（3）证法一：由（2）知当时，函数在单调递增，，即，------------11分

令，则，-------------------------------------12分

即--------14分

证法二：构造数列，使其前项和，

则当时，，-------11分

显然也满足该式，

故只需证-------------------12分

令，即证，记，

则，

在上单调递增，故，

∴成立，

即． -14分