- 导数及其应用
- 共31591题
已知函数
A
B
C
D
正确答案
解析
解：f′（x）=ax2+2ax-1
∵f（x）在区间[1，2]上不是单调函数
∴f（x）在区间[1，2]上有极值
∵f′（x）=ax2+2ax-1的对称轴为x=-1
∴ax2+2ax-1=0在区间[1，2]上只有一个根
∴f′（1）•f′（2）＜0即（3a-1）（8a-1）＜0
解得
故选D
已知函数y=a（x3-3x）的递增区间为（-1，1），则a的取值范围是______．
正确答案
a＜0
解析
解：∵y′=a（3x2-3）
∴y′≥0在区间（-1，1）上恒成立
即a（3x2-3）≥0在区间（-1，1）上恒成立
而-3≤3x2-3＜0
故只需a＜0 （a=0不合题意舍去）
故答案为a＜0
若定义在R上的函数f（x）满足f（0）=-1，其导函数f′（x）满足f′（x）＞k＞1，则下列结论中一定正确的个数是（ ）
①
正确答案
解析
解：∵f′（x）=
且f′（x）＞k＞1，
∴
即
对于①，令x=
对于②，令x=k，即有f（k）＞k2-1，故②不一定正确；
对于③，当x=
即f（
对于④，令x=
即为f（
故正确个数为3，
故选；C．
已知函数f（x）=x3+ax2-x+c，且a=f′（
（1）求a的值；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）设函数g（x）=[f（x）-x3]•ex，若函数g（x）在x∈[-3，2]上单调递增，求实数c的取值范围．
正确答案
解：（1）f′（x）=3x2+2ax-1，
当x=
解之，得a=-1．
（2）∵f（x）=x3-x2-x+c，
∴f′（x）=3（x+
所以f（x）的单调递增区间是（-∞，-）和（1，+∞）；
f（x）的单调递减区间是（-，1）．
（3）函数g（x）=（-x2-x+c）ex，
有g′（x）=（-x2-3x+c-1）ex，
因为函数在区间x∈[-3，2]上单调递增，
等价于h（x）=-x2-3x+c-1≥0在x∈[-3，2]上恒成立，
只要h（2）≥0，解得c≥11，
所以c的取值范围是：c≥11．
解析
解：（1）f′（x）=3x2+2ax-1，
当x=
解之，得a=-1．
（2）∵f（x）=x3-x2-x+c，
∴f′（x）=3（x+
所以f（x）的单调递增区间是（-∞，-）和（1，+∞）；
f（x）的单调递减区间是（-，1）．
（3）函数g（x）=（-x2-x+c）ex，
有g′（x）=（-x2-3x+c-1）ex，
因为函数在区间x∈[-3，2]上单调递增，
等价于h（x）=-x2-3x+c-1≥0在x∈[-3，2]上恒成立，
只要h（2）≥0，解得c≥11，
所以c的取值范围是：c≥11．
函数
A（-∞，1]
B
C
D[1，+∞）
正确答案
解析
解：∵函数
∴f′（x）=x2-2ax+1≤0在（1，2）上恒成立．
即 a≥
由于函数y=
故选C．
已知函数f（x）=
（1）求函数f（x）的单调区间和值域；
（2）设a≥1，函数g（x）=x3-3a2x-2a，x∈[0，1]，若对于任意x1∈[0，1]，总存在x0∈[0，1]，使得g（x0）=f（x1）成立，求a的取值范围．
正确答案
解：（1）对函数f（x）=
f′（x）=
令f′（x）=0解得x=
所以，当x∈（0，）时，f（x）是减函数；当x∈（，1）时，f（x）是增函数．
当x∈[0，1]时，f（x）的值域是[-4，-3]．
（II）对函数g（x）求导，则g′（x）=3（x2-a2）．
因为a≥1，当x∈（0，1）时，g′（x）＜3（1-a2）≤0，
因此当x∈（0，1）时，g（x）为减函数，
从而当x∈[0，1]时有g（x）∈[g（1），g（0）]，
又g（1）=1-2a-3a2，g（0）=-2a，
即当x∈[0，1]时有g（x）∈[1-2a-3a2，-2a]，
任给x1∈[0，1]，f（x1）∈[-4，-3]，存在x0∈[0，1]使得g（x0）=f（x1），
则[1-2a-3a2，-2a]⊇[-4，-3]，即，
解①式得a≥1或a≤-，
解②式得a≤，
又a≥1，故a的取值范围内是1≤a≤．
解析
解：（1）对函数f（x）=
f′（x）=
令f′（x）=0解得x=
所以，当x∈（0，）时，f（x）是减函数；当x∈（，1）时，f（x）是增函数．
当x∈[0，1]时，f（x）的值域是[-4，-3]．
（II）对函数g（x）求导，则g′（x）=3（x2-a2）．
因为a≥1，当x∈（0，1）时，g′（x）＜3（1-a2）≤0，
因此当x∈（0，1）时，g（x）为减函数，
从而当x∈[0，1]时有g（x）∈[g（1），g（0）]，
又g（1）=1-2a-3a2，g（0）=-2a，
即当x∈[0，1]时有g（x）∈[1-2a-3a2，-2a]，
任给x1∈[0，1]，f（x1）∈[-4，-3]，存在x0∈[0，1]使得g（x0）=f（x1），
则[1-2a-3a2，-2a]⊇[-4，-3]，即，
解①式得a≥1或a≤-，
解②式得a≤，
又a≥1，故a的取值范围内是1≤a≤．
设f（x）=ax2-6lnx，其中a∈R，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与y轴相交于点（0，3）．
（1）确定a的值；
（2）求函数f（x）的单调区间与极值．
正确答案
解：（1）∵f′（x）=
∴f′（1）=2a-6，
又f（1）=a，
∴切线方程为：y-a=（2a-6）（x-1），
令x=0，得：y=6-a，
∴6-a=3，
∴a=3；
（2）由（1）得f′（x）=
令f′（x）＞0，解得：x＞1，
令f′x）＜0，解得：0＜x＜1，
∴f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，
∴f（x）的极小值是f（1）=3，无极大值．
解析
解：（1）∵f′（x）=
∴f′（1）=2a-6，
又f（1）=a，
∴切线方程为：y-a=（2a-6）（x-1），
令x=0，得：y=6-a，
∴6-a=3，
∴a=3；
（2）由（1）得f′（x）=
令f′（x）＞0，解得：x＞1，
令f′x）＜0，解得：0＜x＜1，
∴f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，
∴f（x）的极小值是f（1）=3，无极大值．
已知函数f（x）=x3-ax-1，若f（x）在（-1，1）上单调递减，则a的取值范围为（ ）
正确答案
解析
解：∵f（x）=x3-ax-1，
∴f‘（x）=3x2-a，
要使f（x）在（-1，1）上单调递减，
则f′（x）≤0在x∈（-1，1）上恒成立，
则3x2-a≤0，
即a≥3x2，在x∈（-1，1）上恒成立，
在x∈（-1，1）上，3x2＜3，
即a≥3，
故选：A．
对于函数f（x）=tex-x，若存在实数a，b（a＜b），使得f（x）≤0的解集为[a，b]，则实数t的取值范围是______．
正确答案
（0，
解析
解：tex≤x（e是自然对数的底数），转化为t≤
令y=
则y′=
当x＞1时，y′＜0，函数y递减；当x＜1时，y′＞0，函数y递增．
则当x=1时函数y取得最大值
由于存在实数a、b，使得f（x）≤0的解集为[a，b]，
则由右边函数y=
故答案为（0，
若函数f（x）=x3+ax2-2x+5在区间（
正确答案
（
解析
解：∵f（x）=x3+ax2-2x+5
∴f′（x）=3x2+2ax-2
根据题意，函数在区间（
①若只有一个零点，f′（
②若有两个不同零点，则
综上：a∈（
故答案为：（
已知f（x）=ax3+bx2+cx+d是定义在R上的函数，其图象与x轴交于A，B，C三点，若点B的坐标为（2，0），且 f（x）在[-1，0]和[4，5]上有相同的单调性，在[0，2]和[4，5]上有相反的单调性．
（1）求 
（2）在函数f（x）的图象上是否存在一点M（x0，y0），使得 f（x）在点M的切线斜率为3b？求出点M的坐标；若不存在，说明理由；
（3）求|AC|的取值范围．
正确答案
解：（1）f（x）=ax3+bx2+cx+d⇒f‘（x）=3ax2+2bx+c
由题意得：f（x）在[-1，0]和[0，2]上有相反的单调性
所以f'（0）=0
所以c=0
当c=0时，f'（x）=0的另一个根为
f（x）在[0，2]和[4，5]上有相反的单调性，
所以
所以
由题意得：f（x）=ax3+bx2+d=0的三个不同根为2，xA，xC
得f（2）=0
所以d=-8a-4b
f（x）=（x-2）[ax2+（2a+b）x+2（2a+b）]=0
所以ax2+（2a+b）x+2（2a+b）]=0二个不同根为xA，xC，
所以
解得
综上得：
（2）假设在函数f（x）的图象上存在一点M（x0，y0），使得f（x）在点M的切线斜率为3b
则 f'（x0）=3b⇔3ax02+2bx0-3b=0有解（*）
令
得：△=4a2（t2+9t）=4a2t（t+9）＜0与（*）矛盾
在函数f（x）的图象上不存在一点M（x0，y0），使得f（x）在点M的切线斜率为3b…（10分）
（3）由（1）得：
所以3≤|AC|≤4
解析
解：（1）f（x）=ax3+bx2+cx+d⇒f‘（x）=3ax2+2bx+c
由题意得：f（x）在[-1，0]和[0，2]上有相反的单调性
所以f'（0）=0
所以c=0
当c=0时，f'（x）=0的另一个根为
f（x）在[0，2]和[4，5]上有相反的单调性，
所以
所以
由题意得：f（x）=ax3+bx2+d=0的三个不同根为2，xA，xC
得f（2）=0
所以d=-8a-4b
f（x）=（x-2）[ax2+（2a+b）x+2（2a+b）]=0
所以ax2+（2a+b）x+2（2a+b）]=0二个不同根为xA，xC，
所以
解得
综上得：
（2）假设在函数f（x）的图象上存在一点M（x0，y0），使得f（x）在点M的切线斜率为3b
则 f'（x0）=3b⇔3ax02+2bx0-3b=0有解（*）
令
得：△=4a2（t2+9t）=4a2t（t+9）＜0与（*）矛盾
在函数f（x）的图象上不存在一点M（x0，y0），使得f（x）在点M的切线斜率为3b…（10分）
（3）由（1）得：
所以3≤|AC|≤4
定义域为R的函数f（x）对任意x∈R都有f（x）=f（4-x），且其导函数f′（x）满足（x-2）f′（x）＞0，则当2＜a＜4时，有（ ）
Af（2a）＜f（2）＜f（log2a）
Bf（2）＜f（2a）＜f（log2a）
C
D
正确答案
解析
解：∵函数f（x）对任意x∈R都有f（x）=f（4-x），
∴函数f（x）对任意x都有f（2+x）=f（2-x），
∴函数f（x）的对称轴为x=2
∵导函数f′（x）满足（x-2）f′（x）＞0，
∴函数f（x）在（2，+∞）上单调递增，（-∞，2）上单调递减
∵2＜a＜4
∴4＜2a＜16
∵函数f（x）的对称轴为x=2
∴f（log2a）=f（4-log2a）
∵2＜a＜4，∴1＜log2a＜2
∴2＜4-log2a＜3
∴2＜4-log2a＜2a
∴f（2）＜f（4-log2a）＜f（2a），
∴f（2）＜f（log2a）＜f（2a），
故选C
已知函数f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）是f（x）的导函数，且 xf′（x）-f（x）＞0在（0，+∞）上恒成立．
（1）求函数F（x）=
（2）若函数f（x）=lnx+ax2，求实数a的取值范围
（3）设x0是f（x）的零点，m，n∈（0，x0），求证：
正确答案
解：（1）根据题意，对于x∈（0，+∞），F′（x）=
∴F（x）在（0，+∞）上单调递增，（0，+∞）是F（x）的单调递增区间．
（2）f′（x）=
∴
∴ax2-lnx+1＞0；
∴
令g（x）=
令
∴x∈（0，
∴x=
∴a的取值范围是（
（3）根据（1）知在（0，x0）上，
∴x∈（0，x0）时，
∵m+n＞m，m+n＞n
∴
∴
∴①+②得：
∴
解析
解：（1）根据题意，对于x∈（0，+∞），F′（x）=
∴F（x）在（0，+∞）上单调递增，（0，+∞）是F（x）的单调递增区间．
（2）f′（x）=
∴
∴ax2-lnx+1＞0；
∴
令g（x）=
令
∴x∈（0，
∴x=
∴a的取值范围是（
（3）根据（1）知在（0，x0）上，
∴x∈（0，x0）时，
∵m+n＞m，m+n＞n
∴
∴
∴①+②得：
∴
已知函数f（x）=xlnx-x+1，g（x）=x2-2lnx-1，
（Ⅰ）h（x）=4f（x）-g（x），试求 h（x）的单调区间；
（Ⅱ）若x≥1时，恒有af（x）≤g（x），求a的取值范围．
正确答案
（Ⅰ）解：h（x）=4f（x）-g（x）=4xlnx+2lnx-x2-4x+5，
h（x）的定义域为（0，+∞），则
记h″（x）为h′（x）的导函数，则
故h′（x）在其定义域（0，+∞）上单调递减，且有h‘（1）=0，
则令h'（x）＜0可得x＞1，令h'（x）＞0得0＜x＜1，
故h（x）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+∞）；
（Ⅱ）令φ（x）=af（x）-g（x），则有x≥1时φ（x）≤0．
φ（x）=axlnx+2lnx-ax-x2+a+1，
记φ''（x）为φ'（x）的导函数，则
因为当x≥1时，
①若a-4≤0，即a≤4，此时φ''（x）≤0，故φ'（x）在区间[1，+∞）上单调递减，
当x≥1时有φ'（x）≤φ'（1）=0，故φ（x）在区间[1，+∞）上单调递减，
当x≥1时有φ（x）≤φ（1）=0，故a≤4时，原不等式恒成立；
②若a-4＞0，即a＞4，令
故φ'（x）在区间
故φ（x）在区间
故a＞4时，原不等式不恒成立．
综上可知a≤4，即a的取值范围为（-∞，4]．
解析
（Ⅰ）解：h（x）=4f（x）-g（x）=4xlnx+2lnx-x2-4x+5，
h（x）的定义域为（0，+∞），则
记h″（x）为h′（x）的导函数，则
故h′（x）在其定义域（0，+∞）上单调递减，且有h‘（1）=0，
则令h'（x）＜0可得x＞1，令h'（x）＞0得0＜x＜1，
故h（x）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+∞）；
（Ⅱ）令φ（x）=af（x）-g（x），则有x≥1时φ（x）≤0．
φ（x）=axlnx+2lnx-ax-x2+a+1，
记φ''（x）为φ'（x）的导函数，则
因为当x≥1时，
①若a-4≤0，即a≤4，此时φ''（x）≤0，故φ'（x）在区间[1，+∞）上单调递减，
当x≥1时有φ'（x）≤φ'（1）=0，故φ（x）在区间[1，+∞）上单调递减，
当x≥1时有φ（x）≤φ（1）=0，故a≤4时，原不等式恒成立；
②若a-4＞0，即a＞4，令
故φ'（x）在区间
故φ（x）在区间
故a＞4时，原不等式不恒成立．
综上可知a≤4，即a的取值范围为（-∞，4]．
设函数f（x）=2x3-3（a+1）x2+6ax（a∈R）
（1）当a=1时，求证：f（x）为R上的单调递增函数；
（2）当x∈[1，3]时，若f（x）的最小值为4，求实数a的值．
正确答案
解：（1）证明：当a=1时，f（x）=2x3-6x2+6x，
f′（x）=6x2-12x+6=6（x-1）2≥0，
故f（x）为R上的单调递增函数；
（2）f′（x）=6x2-6（a+1）x+6a
=6（x-1）（x-a）；
当a≤1时，f（x）在[1，3]上是增函数，
故fmin（x）=f（1）=2-3（a+1）+6a=4；
解得，a=
当1＜a＜3时，f（x）在[1，3]上先减后增，
故fmin（x）=f（a）=2a3-3（a+1）a2+6a•a=4；
解得，a=2；
当a≥3时，
f（x）在[1，3]上是减函数，
故fmin（x）=f（3）=54-27（a+1）+18a=4；
a=
综上所述，a=2．
解析
解：（1）证明：当a=1时，f（x）=2x3-6x2+6x，
f′（x）=6x2-12x+6=6（x-1）2≥0，
故f（x）为R上的单调递增函数；
（2）f′（x）=6x2-6（a+1）x+6a
=6（x-1）（x-a）；
当a≤1时，f（x）在[1，3]上是增函数，
故fmin（x）=f（1）=2-3（a+1）+6a=4；
解得，a=
当1＜a＜3时，f（x）在[1，3]上先减后增，
故fmin（x）=f（a）=2a3-3（a+1）a2+6a•a=4；
解得，a=2；
当a≥3时，
f（x）在[1，3]上是减函数，
故fmin（x）=f（3）=54-27（a+1）+18a=4；
a=
综上所述，a=2．
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