热门试卷

（1）b＝－11   （2）

解：(1)f′(x)＝3x2＋2ax＋b，

于是，根据题设有，

解得或.

当时，f′(x)＝3x2＋8x－11，Δ＝64＋132>0，所以函数有极值点；

当时，f′(x)＝3(x－1)2≥0，所以函数无极值点．

所以b＝－11.

(2)由题意知f′(x)＝3x2＋2ax＋b≥0对任意的a∈[－4，＋∞)，x∈[0,2]都成立，

所以F(a)＝2xa＋3x2＋b≥0对任意的a∈[－4，＋∞)，x∈[0,2]都成立．

因为x≥0，

所以F(a)在a∈[－4，＋∞)上为单调递增函数或为常数函数，

①当F(a)为常数函数时，F(a)＝b≥0；

②当F(a)为增函数时，F(a)min＝F(－4)＝－8x＋3x2＋b≥0，

即b≥(－3x2＋8x)max对任意x∈[0,2]都成立，

又－3x2＋8x＝－3(x－)2＋≤，

所以当x＝时，(－3x2＋8x)max＝，所以b≥.

所以b的最小值为.

(1) ， (2) 8．

试题分析：(1)解实际问题应用题，关键要正确理解题意，正确列出等量关系，注意考虑函数定义域. 设点C受A污染源污染程度为，点C受B污染源污染程度为，其中为比例系数，且．从而点C处受污染程度．定义域为 (2) 因为，所以，，求复杂分式函数最值，通常考虑利用导数求解. ,令，得，因此函数在单调减，在单调增，即在时函数取极小值，也是最小值. 又此时，解得，经验证符合题意．

解：（1）设点C受A污染源污染程度为，点C受B污染源污染程度为，其中为比例系数，且．                 4分

从而点C处受污染程度．         6分

（2）因为，所以，，             8分

，令，得，       12分

又此时，解得，经验证符合题意．

所以，污染源B的污染强度的值为8．                14分

（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）正整数的最大值为．

试题分析：（Ⅰ）设为函数的极值点，只需对求导，让它的导函数在处的值为零，这样得到的关系式，从而证明；（Ⅱ）当时，恒成立，求正整数的最大值，这是恒成立问题，解这类为题，只需分离参数，把含有参数放到不等式一边，不含参数放到不等式的另一边，转化为求不含参数一边的最大值或最小值即可，本题分离参数得，不等式的右边就是，这样转化为求的最小值问题，由于带有对数函数，需用极值法求最值，只需对求导，得，令时，即，无法解方程，可令，判断单调性，利用根的存在性定理来确定根的范围，从而求解．

试题解析：（Ⅰ）因为，故, 为函数的极值点,, 即,于是,故 ；

（Ⅱ）恒成立,分离参数得 ，则时，恒成立，只需，，记，， 在上递增，又，在上存在唯一的实根， 且满足， 当时，即；当时，即,,故正整数的最大值为．

(1) 证明略(2)点A的坐标为(，log8)

设点A、B的横坐标分别为x1、x2,

由题意知： x1>1,x2>1,则A、B纵坐标分别为log8x1,log8x2.

因为A、B在过点O的直线上，

所以,点C、D坐标分别为(x1,log2x1),(x2,log2x2),

由于log2x1==3log8x2,

所以OC的斜率： k1=,

OD的斜率： k2=，

由此可知: k1=k2,即O、C、D在同一条直线上.

(2)解: 由BC平行于x轴知：log2x1=log8x2 

即 log2x1=log2x2,代入x2log8x1=x1log8x2得x13log8x1=3x1log8x1,

由于x1>1知log8x1≠0,∴x13=3x1.

又x1>1,∴x1=,则点A的坐标为(，log8).

（Ⅰ）由题意知，M处的切线的斜率k==2，

∵y′=2x+4，

∴2x0+4=2，解得x0=-1，

将x0=-1代入y=x2+4x+中，解得y0=，

∴M（-1，）；

（Ⅱ）设 M（x0，y0）为C上一点，

①若x0=-2，则C上点M（-2，-）处的切线斜率 k=0，过点M（-2，-） 的法线方程为x=-2，此法线过点P（-2，a）；

②若 x0≠-2，则过点 M（x0，y0）的法线方程为：y-y0=-（x-x0） ①

若法线过P（-2，a），则 a-y0=-（-2-x0），即（x0+2）2=a  ②

若a＞0，则x0=-2±，从而y0=，将上式代入①，

化简得：x+2y+2-2a=0或x-2y+2+2a=0，

若a=0与x0≠-2矛盾，若a＜0，则②式无解．

综上，当a＞0时，在C上有三个点（-2+，），（-2-，）及

（-2，-），在这三点的法线过点P（-2，a），其方程分别为：

x+2y+2-2a=0，x-2y+2+2a=0，x=-2．

当a≤0时，在C上有一个点（-2，-），在这点的法线过点P（-2，a），其方程为：x=-2．

（1）极大值是e－1,极小值

（2）①－1－e－1 ②(－1,＋∞)

（1）当a＝2,b＝1时,f (x)＝(2＋)ex,定义域为(－∞,0)∪(0,＋∞).

所以f ′(x)＝ex

令f ′(x)＝0,得x1＝－1,x2＝,列表

由表知f (x)的极大值是f (－1)＝e－1,f (x)的极小值是f ()＝

（2）① 因为g (x)＝(ax－a)ex－f (x)＝(ax－－2a)ex,

当a＝1时,g (x)＝(x－－2)ex.

因为g (x)≥1在x∈(0,＋∞)上恒成立,

所以b≤x2－2x－在x∈(0,＋∞)上恒成立． 记h(x)＝x2－2x－ (x＞0),则h′(x)＝.

当0＜x＜1时,h′(x)＜0,h(x)在(0,1)上是减函数;

当x＞1时,h′(x)＞0,h(x)在(1,＋∞)上是增函数;

所以h(x)min＝h(1)＝－1－e－1;所以b的最大值为－1－e－1.      ②因为g (x)＝(ax－－2a)ex,所以g ′(x)＝(＋ax－－a)ex.

由g (x)＋g′(x)＝0,得(ax－－2a)ex＋(＋ax－－a)ex＝0,

整理得2ax3－3ax2－2bx＋b＝0.

存在x＞1,使g (x)＋g ′(x)＝0成立.

等价于存在x＞1,2ax3－3ax2－2bx＋b＝0成立．

因为a＞0,所以＝.

设u(x)＝ (x＞1),则u′(x)＝．

因为x＞1,u′(x)＞0恒成立,所以u(x)在(1,＋∞)是增函数,所以u(x)＞u(1)＝－1,

所以＞－1,即的取值范围为(－1,＋∞)

(I). (Ⅱ)这样的切线存在，且只有一条。

(Ⅲ)以，

=.

本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用，以及不等式的求解，以及最值的研究。

（1）因为当时，不等式等价于，进而得到解集

（2）假设存在这样的切线，设其中一个切点，

∴切线方程：将点T代入得到结论。

（3）对恒成立，所以，构造函数运用导数求解最值得到证明。

(I)当时，不等式等价于，解集为.      3分

(Ⅱ)假设存在这样的切线，设其中一个切点，

∴切线方程：，将点坐标代入得：

，即，       ①

法1：设，则．………………6分

，在区间，上是增函数，在区间上是减函数，

故．

又，注意到在其定义域上的单调性知仅在内有且仅有一根方程①有且仅有一解，故符合条件的切线有且仅有一条． 8分.

法2：令()，考查，则，

从而在增，减，增. 故，

，而，故在上有唯一解.

从而有唯一解，即切线唯一.

法3：，；

当；

所以在单调递增。 又因为，所以方程

有必有一解，所以这样的切线存在，且只有一条。

(Ⅲ)对恒成立，所以，

令，可得在区间上单调递减，

故，.                      10分

得，. 令，，

注意到，即，

所以，

=.              14分

（I）设该学生从家出发，先乘船渡河到达公路上某一点P(x,0) (0≤x≤d)，再乘

公交车去学校，所用的时间为t，则.……3分

令……………………………………………………5分

且当…………………………………………………6分

当……………………………………………………7分

当时，所用的时间最短，最短时间为：

.………………………………9分

答：当d=2a时，该学生从家出发到达学校所用的最短时间是.

（II）由（I）的讨论可知，当d=上的减函数，所以当时，

即该学生直接乘船渡河到达公路上学校，所用的时间最短.……………………12分

最短的时间为………………………………………………14分

答：当时，该学生从家出发到达学校所用的最短时间是

略

解：（Ⅰ），

．

令，得（舍去）．

当时．；当时，，

故当时，为增函数；当时，为减函数．

为的极大值点，且．

（Ⅱ）方法一：原方程可化为，

即为，且

①当时，，则，即，

，此时，∵，

此时方程仅有一解．

②当时，，由，得，，

若，则，方程有两解；

若时，则，方程有一解；

若或，原方程无解．

方法二：原方程可化为，

即，

①当时，原方程有一解；

②当时，原方程有二解；

③当时，原方程有一解；

④当或时，原方程无解．

（Ⅲ）由已知得，

．

设数列的前n项和为，且（）

从而有，当时，．

又

．

即对任意时，有，又因为，所以．

则，故原不等式成立．

略

（2）

（3）

本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用

（1）因为函数在点处的切线斜率为1,那么x=2的导数值为零可知参数a的值。

（2）由（1）知，，

故

(3)

则

然后对于参数p讨论得到单调性。

解：

（2）由（1）知，，

故

则，

①若，由于，所以不存在

使得

②若，此时，所以在上是增函数，

，只要即可，解得，即