导数及其应用_章节学习

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题型：简答题

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简答题

(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ln(x+1)－x．

⑴求函数f(x)的单调递减区间；

⑵若，证明：．

正确答案

解：⑴函数f(x)的定义域为．＝－1＝－。由<0及x>－1，得x>0．∴当x∈（0，＋∞）时，f(x)是减函数，即f(x)的单调递减区间为（0，＋∞）．

⑵证明：由⑴知，当x∈（－1，0）时，＞0，当x∈（0，＋∞）时，＜0，

因此，当时，≤，即≤0∴．

令，则＝．

∴当x∈（－1，0）时，＜0，当x∈（0，＋∞）时，＞0．

∴当时，≥，即≥0，∴．

综上可知，当时，有．

略

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题型：简答题

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简答题

（（本题15分）

已知函数，

（Ⅰ）若曲线在点处的切线斜率为3，且时有极值，求函数的解析式；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数在上的最大值和最小值。

正确答案

解： (2分)

（Ⅰ）由题意，得 (6分)

所以， …………………………………………7分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，

(9分)

在[－4，1]上的最大值为13，最小值为－11。 (15分)

略

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题型：简答题

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简答题

（本小题满分12分）

已知曲线在点处的切线斜率为

（Ⅰ）求的极值；

（Ⅱ）设在（一∞，1）上是增函数，求实数的取值范围；

正确答案

解析：（Ⅰ）的定义域是…………1分

…………2分

由题知

令…………3分

当变化时，的变化情况如下表所示

所以处取得极大值1，无极小值。…………6分

（Ⅱ）…………7分

由题知上恒成立，即在（-∞，1）上恒成立……8分

即实数的取值范围是…………12分

略

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题型：简答题

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简答题

（本小题满分12分）函数，

（I）判断的单调性；

（II）若且函数在上有解，求的范围.

正确答案

略

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题型：简答题

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简答题

（本小题满分12分）

已知函数

（Ⅰ）设两曲线有公共点，且在公共点处的切线相同，若，试建立关于的函数关系式，并求的最大值；

（Ⅱ）若在（0，4）上为单调函数，求的取值范围。

正确答案

略

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题型：填空题

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填空题

设函数，则。

正确答案

略

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题型：填空题

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填空题

曲线在点处的切线方程是．

正确答案

略

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题型：简答题

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简答题

（本小题满分12分）已知函数，其中

（1）若曲线在点处的切线方程为,求函数的解析式；

（2）讨论函数的单调性；

（3）若对任意的，不等式在上恒成立，求实数b的取值范围。

正确答案

（1）。

（2）当时,在内是增函数；当时，在内是增函数，在内是减函数。

（3）（）

（1）略

（2）略；

（3）略

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题型：简答题

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简答题

已知函数f(x)=x3-ax2-(a-3)x+b

（1）若函数f（x）在P（0，f（0））的切线方程为y=5x+1，求实数a，b的值：

（2）当a＜3时，令g(x)=，求y=g（x）在[l，2]上的最大值．

正确答案

（1）f（x）=x2-3ax-a+3，

函数f（x）在点P（0，f（0））的切线方程为y=5x+1，

则∴a=-2，b=1，（4分）

（2）g(x)=-g′(x)==（6分）

因为在[1，2]上求y=g（x）的最大值，故只讨论x＞O时，g（x）的单调性．

∵a＜3∴3-a＞O，令g’（x）=0x=

∵当0＜x＜时，g'（x）＜O，g（x）单调递减；

当x≥时，g'（x）＞0．g（x）单调递增．lO分

∴当x=1或x=2时．g（x）取得最大值g（1）或g（2）

其中g（1）=4-4a，g(2)=，由g（1）＞g（2）得4-4a＞⇒a＜1

故当a＜1时，g（x）max=g（1）=4-4a；

当1≤a＜3时，g(x)max=g(2)=（14分）

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题型：填空题

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填空题

(2014·南京模拟)已知曲线f(x)=lnx在点(x0,f(x0))处的切线经过点(0,1),则x0的值为__________.

正确答案

e2

函数的导数为f′(x)=,

所以切线斜率为k=f′(x0)=,

所以切线方程为y-lnx0=(x-x0),

因为切线过点(0,1),

所以代入切线方程得lnx0=2,解得x0=e2.

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题型：填空题

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填空题

点是曲线上任意一点，则点到直线的距离的最小值是 .

正确答案

试题分析：因为点是曲线上任意一点，则点到直线的距离的最小值是在点的切线与该直线平行的时候，由（负值舍去），所以点的坐标为，此时点到直线的距离为.

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题型：填空题

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填空题

一物体沿直线以（的单位：秒，的单位：米/秒）的速度做变速直线运动，则该物体从时刻到5秒运动的路程为米.

正确答案

∵当0≤t≤时，v（t）=2t-3≤0；当≤t≤5时，v（t）=2t-3≥0．∴物体从时刻t=0秒至时刻t=5秒间运动的路程为

，故答案为。

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题型：填空题

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填空题

（本小题满分12分）已知三次函数的导函数，，．为实数.

（1）若曲线在点（，）处切线的斜率为12，求的值；

（2）若在区间［-1，1］上的最小值．最大值分别为-2．1，且，求函数的解析式.

正确答案

（Ⅰ）；（Ⅱ）=。

(1)根据可得a值.

（2）由，，得

然后再根据得x=0,x=a,再结合易求f(x)的单调区间，进而可得到其极值最值,从而得到关于a,b的方程，解出a值，b值,解析式确定.

（Ⅰ）由导数的几何意义=12

∴

∴ ∴ ………………………4分

（Ⅱ）∵ ， ∴

由得，

∵ ［-1，1］，

∴ 当［-1，0）时，，递增；

当（0，1］时，，递减.……………8分

∴ 在区间［-1，1］上的最大值为

∵ ，∴ ="1" ……………………10分

∵ ，

∴ ∴ 是函数的最小值，

∴ ∴

∴ = .................12分

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题型：简答题

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简答题

(本小题12分)

已知函数

(1)判断函数在上的单调性;

(2)是否存在实数,使曲线在点处的切线与轴垂直?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.

正确答案

(1)见解析；(2) 不存在

(1)先求出，然后再分和三种情况研究其在区间上的单调性.

(2)本小题所给条件曲线在点处的切线与轴垂直实质是研究方程有实数解.然后利用导数研其单调性和最值，画出图像从图像上可分析判断是否有实数解.

解;

①若则,在上单调递增

②若,当时,函数在区间上单调递减,

当时,函数在区间上单调递增

③若,则函数在区间上单调递减.

(2),由(1)易知,当时,在上的最小值:

即时,又,

曲线在点处的切线与轴垂直等价于方程有实数解.

而,即方程无实数解,故不存在.

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题型：简答题

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简答题

已知函数图象上一点处

的切线方程为y= -3x+2ln2+2．

（1）求a,b的值；

（2）若方程在内有两个不等实根，求m的取值范围（其

中为自然对数的底数）；

正确答案

（1）．

（2）取值范围是

（1）对函数f（x）进行求导，根据f'（2）=-3得到关于a、b的关系式，再将x=2代入切线方程得到f（2）的值从而求出答案．

（2）由（1）确定函数f（x）的解析式，进而表示出函数h（x）后对其求导，根据单调性与其极值点确定关系式得到答案．

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