热门试卷

（Ⅰ）证明见解析。

（Ⅱ）当,此时无极小值；

当的极小值为,此时无极大值；

当既无极大值又无极小值。

(Ⅰ)证明：因为所以′(x)=x2+2x,

由点在函数y=f′(x)的图象上,

又所以

所以,又因为′(n)=n2+2n,所以,

故点也在函数y=f′(x)的图象上.

(Ⅱ)解:,

由得.

当x变化时,﹑的变化情况如下表:

注意到,从而

①当,此时无极小值；

②当的极小值为,此时无极大值；

③当既无极大值又无极小值。

（1）当b=1时f'（x）=3ax2+2x-1，f（x）在（2，+∞）上存在单调递增区间，即f'（x）在（2，+∞）上存在区间使f'（x）＞0．

①a＞0时，f'（x）=3ax2+2x-1是开口向上的抛物线．

显然f'（x）在（2，+∞）上存在区间，使f'（x）＞0即a＞0适合．

②a＜0时，f'（x）=3ax2+2x-1是开口向下的抛物线．

要使f'（x）在（2，+∞）上存在区间有f'（x）＞0，则f'（x）=3ax2+2x-1=0在（2，+∞）上有一解或两解．

即f'（2）＞0或⇒a＞-或无解，

又a＜0∴a∈(-，0)

综合得a∈(-，0)∪(0，+∞)

（2）不存在实数a，b，c满足条件．

事实上，由f（x1）=f（x2）得：a（x13-x23）+b（x12-x22）-（x1-x2）=0

∵x1≠x2∴a（x12+x1x2+x22）+b（x1+x2）-1=0

又f'（x）=3ax2+2bx-1

∴f′()=3a()2+2b•-1

=3a•+1-a(+x1x2+)-1=-(x1-x2)2

∵a≠0且x1-x2≠0∴f′()≠0

故不存在实数a，b，c满足条件．

（1）①  ②（2）

本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。

（1）根据导数的几何意义得到解析式。

（2）求解导函数，然后根据导数的正负号与单调性的关系得到极值和最值。

（3）要证明不等式恒成立，转换为研究函数的最值问题，构造函数求解得到结论。

解：（1）①∵函数在处与直线相切

解得           

②

当时，令得；

令，得上单调递增，在[1，e]上单调递减，

                  …………6分

（2）当b=0时，若不等式对所有的都成立，

则对所有的都成立，

即对所有的都成立，

令为一次函数，

上单调递增，

对所有的都成立。

当半径为2cm时利润最小,当半径为5cm时利润最大。

本试题主要是考查了函数在实际生活中的运用。根据已知的条件设出变量瓶子的半径是r.然后得到每瓶饮料的利润是，借助于导数求解最值。

解：瓶子的半径是r.

故每瓶饮料的利润是………4分

令.故当r=2时, …………..6分

当时, ;当时.

故当半径时, ,为增函数,即半径越大,利润越大,当,,为减函数,即半径越小,利润越小.

所以当半径为2cm时利润最小,当半径为5cm时利润最大……….12分

（1）在（0，1）上单调递增；在（1，+∞）上单调递减． （2）

本试题主要考查了导数在研究函数中的运用。通过a的值可知，函数解析式，求解导数，然后令导数大于零和导数小于零，得到单调区间。并利用导数的几何意义得到切线的斜率等的运用。、

（1）直接求解导数，然后解导数的不等式得到单调增减区间。

（2）利用对于任意的，函数y=g(x)在区间上总存在极值，转化为

在x=2,x=3处的导数值分别为小于零和大于零得到参数m的取值范围。

解：   

（I）当时，，        …………………………………2分

令时，解得，所以在（0，1）上单调递增； ……4分

令时，解得，所以在（1，+∞）上单调递减． ………6分

（II）因为函数的图象在点（2，）处的切线的倾斜角为45o，

所以．

所以，． ………………………………………………8分

 ，

，     ……………………………………………10分

因为任意的，函数在区间上总存在极值，

所以只需      ……………………………………………………12分

解得． 

(1). (2)曲线上任一点处的切线与直线,

所围成的三角形的面积为定值

本试题主要是考查了导数的几何意义的运用，求解切线方程，以及运用三角形的面积公式求解面积的综合运用。

（1）根据曲线在点处的切线方程为，说明在x=2处的导数值为7/4,然后利用求导，代值得到结论。

（2）利用切线方程分别得到与x,y轴交点的坐标，然后，运用坐标表示长度得到三角形的面积

解:(1)方程可化为.

当时,. 又,

于是解得 ,故.

(2)设为曲线上任一点,由知曲线在点处的切线方程为

,即.

令得,从而得切线与直线的交点坐标为.

令得,从而得切线与直线的交点坐标为.

所以点处的切线与直线,所围成的三角形面积

为.故曲线上任一点处的切线与直线,

所围成的三角形的面积为定值