- 导数及其应用
- 共31591题
(本题满分15分)
已知函数
(Ⅰ) 求的最小值
(Ⅱ)若在区间
, 试求k的取值范围.
正确答案
略
(本小题共12分) 给定函数和
(I)求证: 总有两个极值点;
(II)若
和
有相同的极值点,求
的值.
正确答案
证明: (I)因为,
令,则
,---------------------2分
则当时,
,当
,
所以为
的一个极大值点, ------------4分
同理可证为
的一个极小值点.----- ----------5分
另解:(I)因为是一个二次函数,
且,-------------------------------------2分
所以导函数有两个不同的零点,
又因为导函数是一个二次函数,
所以函数有两个不同的极值点.-------- ----------5分
(II) 因为,
令,则
---------------6分
因为和
有相同的极值点, 且
和
不可能相等,
所以当时,
, 当
时,
,
经检验, 和
时,
都是
的极值点
略
定义在上的函数
在
处的切线方程是
,则
正确答案
-1
略
已知:函数.(其中e为自然对数的底数,e=2.71828…〉.
(1) 当时,求函数
的图
象在点
处的切线方程;
(2) 当时,试求函数
的极值;
(3)若,则当
时,函数
的图象是否总在不等式
所表示的平面区域内,请写出判
断过程.
正确答案
解析:
(1)
所以,当时函数
的图
象在点
处的切线的斜率为1
故所求切线方程为……………………..2分
(2)当时
恒成立,函数定义域为R
又单调递增,
单调递减,
单调递增
所以函数的极大值为
,极大值为
…………………..5分
(3)①当时
法一:因为函数在
单调递增,所以其最小值为
,而函数
在
的最大值为1,所以函数
图象总在不等式
所表示的平面区域内……………..6分
法二:因为
而当时
,
又,
,即当
时
成立
所以函数图象总在不等式
所表示的平面区域内……………..6分
②当时,
法一:仿上可得函数在
上时,上述结论仍然成立……………..7分
法二:因为,由(2)知
而当时
又,
,即当
时
成立……………..7分
而当时,因为函数
递减,其最小值为
所以,下面判断的关系,即判断
的关系,
令
单调递增
使得
上单调递减,在
单调递增……………………………..10分
所以
即也即
所以函数图象总在不等式
所表示的平面区域内……………..12分
略
(本题满分12分)设函数 (a、b、c、d∈R)满足:
对任意 都有
,
,
(1)的解析式;
(2)当时,证明:函数图象上任意两点处的切线不可能互相垂直;
(3)设 ,证明:
时,
正确答案
解:(I)因为,成立,所以:
,
由: ,得
,
由:,得
解之得: 从而,函数解析式为:
…………4分
(2)由于,,设:任意两数
是函数
图像上两点的横坐
标,则这两点的切线的斜率分别是:
又因为:,所以,
,得:
知:
故,当 是函数
图像上任意两点的切线不可能垂直…………9分
(3)当: 时,
且
此时
当且仅当:即
,取等号,故:
…………12分
略
(本小题满分12分) 设的极小值为
,其导函数
的图像开口向下且经过点
,
(Ⅰ)求的解析式;(Ⅱ)方程
有唯一实数解,求
的取值范围
(Ⅲ)若对都有
恒成立,求实数
的取值范围
正确答案
解:(1),且
的图象过点
…………2分
∴,由图象可知函数
在
上单调递减,在
上单调递增,在
上单调递减,(不说明单调区间应扣分)
∴,即
,解得
∴ …………4分[
(2) ,又因为
="-8."
由图像知,,即
…………8分
(3)要使对都有
成立,只需
由(1)可知函数在
上单调递减,在
上单调递增,
在上单调递减,且
,
…………10分
∴
故所求的实数m的取值范围为…………12分
略
(本小题12分)
已知函数的图像如图所示.
(1)求的值;
(2)若函数在
处的切线方程为
,
求函数的解析式;
(3)若=5,方程
有三个不同的根,求实数
的取值范围。
正确答案
函数的导函数为
(1)由题图可知,函数的图像过点(0,3),且
,
得 .
(2)依题意可得,得
所以
. (3)依题意
由 ①
若方程有三个不同的根,当且仅当满足
②
由①②得
所以,当时,方程
有三个不同的根.
略
曲线在点(0,1)处的切线方程为
正确答案
y=3x+1
略
(本小题14分)
已知函数的图像在[a,b]上连续不断,定义:
,
,其中
表示函数
在D上的最小值,
表示函数
在D上的最大值,若存在最小正整数k,使得
对任意的
成立,则称函数
为
上的“k阶收缩函数”
(1)若,试写出
,
的表达式;
(2)已知函数试判断
是否为[-1,4]上的“k阶收缩函数”,
如果是,求出对应的k,如果不是,请说明理由;
已知,函数
是[0,b]上的2阶收缩函数,求b的取值范围
正确答案
解:(1)由题意可得:,
。
(2),
,
当时,
当时,
当时,
综上所述,。
即存在,使得
是[-1,4]上的“4阶收缩函数”。
(3),令
得
或
。
函数的变化情况如下:
令得
或
。
(i)当时,
在
上单调递增,因此,
,
。因为
是
上的“二阶收缩函数”,所以,
①对
恒成立;
②存在,使得
成立。
①即:对
恒成立,由
解得
或
。
要使对
恒成立,需且只需
。
②即:存在,使得
成立。
由解得
或
。
所以,只需。
综合①②可得。
(i i)当时,
在
上单调递增,在
上单调递减,
因此,,
,
,
显然当时,
不成立。
(i i i)当时,
在
上单调递增,在
上单调递减,因此,
,
,
,
显然当时,
不成立。
综合(i)(i i)(i i i)可得:
略
(本题满分12分)
已知函数(
).
(1)当时,求函数
在
上的最大值;
(2)当函数在
单调时,求
的取值范围;
正确答案
(1)函数在最大值是
,
(2)的取值范围是
。
(1)时,
,
函数在区间
仅有极大值点
,故这个极大值点也是最大值点,
故函数在最大值是
,…………5分
(2),令
,则
,
则函数在递减,在
递增,由
,
,
,故函数
在
的值域为
。
若在
恒成立,即
在
恒成立,
只要,若要
在在
恒成立,即
在
恒成立,
只要。即
的取值范围是
。…………12分
曲线在点
处的切线方程 .
正确答案
试题分析:因为点在函数
上,又函数的导数为
.所以在点
处的切线方程的斜率为
.,所以过点
处的切线方程为
.故填
.本小题的关键是判断点A与曲线的位置关系.
设函数,曲线
过点P(1,0),且在P点处的切斜线率为2.
(1)求,
的值;
(2)证明:.
正确答案
(1) ;(2)详见解析.
试题分析:(1)由曲线过点
(1,0),将点
坐标代入解析式中,得关于
的方程,再利用
,得关于
的另一个方程,联立求出
;(2)证明
,可构造差函数
,证明
,此题记
,然后利用导数求
的最大值.
试题解析:(1),由已知条件得
即
解得
;
(2)的定义域为
,由(I)知
,设
=
,则
,当
时,
;当
时,
,所以
在
上单调增加,在(1,+
)上单调减少,∴
,故当
时,
,即
.
(本小题满分12分)已知函数(
).
(1)试讨论在区间
上的单调性;
(2)当时,曲线
上总存在相异两点
,
,使得曲线
在点
,
处的切线互相平行,求证:
.
正确答案
(1)在
上单调递减,在
上单调递增. (2)证明:见解析。
本试题主要是考查了导数在研究函数的运用。
(1)由已知,
,根据导数的符号判定函数单调性,得到结论。
(2)因为由题意可得,当时,
(
,且
).
即 ,
所以,
.,借助于不等式来证明。
(1)由已知,
.
由,得
,
. 因为
,所以
,且
.
所以在区间上,
;在区间
上,
.
故在
上单调递减,在
上单调递增. ……………6分
(2)证明:由题意可得,当时,
(
,且
).
即 ,
所以,
. ………8分
因为,且
,所以
恒成立,
所以,又
,
所以,整理得
.
令,因为
,所以
在
上单调递减,
所以在
上的最大值为
, 所以
.…………12分
某小区要建一座八边形的休闲小区,它的主体造型的平面图是由二个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200 m2的十字型地域,计划在正方形MNPQ上建一座“观景花坛”,造价为4200元/m2,在四个相同的矩形上(图中阴影部分)铺花岗岩地坪,造价为210元/m2,再在四个空角(如ΔDQH等)上铺草坪,造价为80元/m2。
设总造价为S元,AD长为xm,试建立S与x的函数关系;
当x为何值时,S最小?并求这个最小值。
正确答案
(1) ;(2)
时,
元
(1)设DQ="y," 又AD=x,则,
,
。
(2),
当且仅当,即
时,
元
设,
,
,…,
,
,则
=( )
正确答案
C
,
,
,
显然周期为4,所以.
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