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题型:简答题
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简答题

(本题满分15分)

已知函数

(Ⅰ) 求的最小值

(Ⅱ)若在区间, 试求k的取值范围.

正确答案

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题型:简答题
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简答题

(本小题共12分) 给定函数

(I)求证: 总有两个极值点;

(II)有相同的极值点,求的值.

正确答案

证明: (I)因为,

,则,---------------------2分

则当时, ,当,

所以的一个极大值点,            ------------4分

同理可证的一个极小值点.----- ----------5分

另解:(I)因为是一个二次函数,

,-------------------------------------2分

所以导函数有两个不同的零点,

 又因为导函数是一个二次函数,

所以函数有两个不同的极值点.-------- ----------5分

(II) 因为

,则      ---------------6分

因为有相同的极值点,  且不可能相等,

所以当时, ,    当时, ,

经检验, 时, 都是的极值点

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题型:填空题
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填空题

定义在上的函数处的切线方程是,则   

正确答案

-1

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题型:简答题
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简答题

已知:函数.(其中e为自然对数的底数,e=2.71828…〉.

(1) 当时,求函数的图象在点处的切线方程;

(2) 当时,试求函数的极值;

(3)若,则当时,函数的图象是否总在不等式所表示的平面区域内,请写出判断过程.

正确答案

解析:

(1)

所以,当时函数的图象在点处的切线的斜率为1

故所求切线方程为……………………..2分

(2)当恒成立,函数定义域为R

单调递增,单调递减,单调递增

所以函数的极大值为,极大值为…………………..5分

(3)①当

法一:因为函数单调递增,所以其最小值为,而函数的最大值为1,所以函数图象总在不等式所表示的平面区域内……………..6分

法二:因为

而当

,即当成立

所以函数图象总在不等式所表示的平面区域内……………..6分

②当时,

法一:仿上可得函数上时,上述结论仍然成立……………..7分

法二:因为,由(2)知

而当

,即当成立……………..7分

而当时,因为函数递减,其最小值为

所以,下面判断的关系,即判断的关系,

单调递增

使得

上单调递减,在单调递增……………………………..10分

所以

也即

所以函数图象总在不等式所表示的平面区域内……………..12分

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题型:简答题
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简答题

(本题满分12分)设函数 (a、b、c、d∈R)满足:

对任意 都有

(1)的解析式;

(2)当时,证明:函数图象上任意两点处的切线不可能互相垂直;

(3)设 ,证明:时,

正确答案

解:(I)因为,成立,所以:

由: ,得 

由:,得

解之得: 从而,函数解析式为:…………4分

(2)由于,,设:任意两数是函数图像上两点的横坐

标,则这两点的切线的斜率分别是:

又因为:,所以,,得:知:

故,当 是函数图像上任意两点的切线不可能垂直…………9分

(3)当: 时, 且 此时

当且仅当:,取等号,故:…………12分

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题型:简答题
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简答题

(本小题满分12分) 设的极小值为,其导函数的图像开口向下且经过点

(Ⅰ)求的解析式;(Ⅱ)方程有唯一实数解,求的取值范围

(Ⅲ)若对都有恒成立,求实数的取值范围

正确答案

解:(1),且的图象过点    …………2分

,由图象可知函数上单调递减,在 上单调递增,在上单调递减,(不说明单调区间应扣分)

,即,解得

               …………4分[

(2) ,又因为="-8."

由图像知,,即    …………8分

(3)要使对都有成立,只需

由(1)可知函数上单调递减,在上单调递增,

上单调递减,且

                …………10分

 

故所求的实数m的取值范围为…………12分

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题型:简答题
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简答题

(本小题12分)

已知函数的图像如图所示.

(1)求的值;

(2)若函数处的切线方程为

求函数的解析式;

(3)若=5,方程有三个不同的根,求实数的取值范围。

正确答案

函数的导函数为

(1)由题图可知,函数的图像过点(0,3),且

 .                        

(2)依题意可得,得

所以.                                (3)依题意

   ①

若方程有三个不同的根,当且仅当满足        ②

由①②得

所以,当时,方程有三个不同的根.

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题型:填空题
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填空题

曲线在点(0,1)处的切线方程为              

正确答案

y=3x+1

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题型:简答题
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简答题

(本小题14分)

已知函数的图像在[a,b]上连续不断,定义:

,其中表示函数在D上的最小值,表示函数在D上的最大值,若存在最小正整数k,使得对任意的成立,则称函数上的“k阶收缩函数”

(1)若,试写出的表达式;

(2)已知函数试判断是否为[-1,4]上的“k阶收缩函数”,

如果是,求出对应的k,如果不是,请说明理由;

已知,函数是[0,b]上的2阶收缩函数,求b的取值范围

正确答案

解:(1)由题意可得:

(2)

时,

时,

时,

综上所述,

即存在,使得是[-1,4]上的“4阶收缩函数”。

(3),令

函数的变化情况如下:

(i)当时,上单调递增,因此,。因为上的“二阶收缩函数”,所以,

恒成立;

②存在,使得成立。

①即:恒成立,由解得

要使恒成立,需且只需

②即:存在,使得成立。

解得

所以,只需

综合①②可得

(i i)当时,上单调递增,在上单调递减,

因此,

显然当时,不成立。

(i i i)当时,上单调递增,在上单调递减,因此,

显然当时,不成立。

综合(i)(i i)(i i i)可得:

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题型:简答题
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简答题

(本题满分12分)

已知函数).

(1)当时,求函数上的最大值;

(2)当函数单调时,求的取值范围;

正确答案

(1)函数在最大值是

(2)的取值范围是

(1)时,

函数在区间仅有极大值点,故这个极大值点也是最大值点,

故函数在最大值是,…………5分

(2),令,则

则函数在递减,在递增,由

,故函数的值域为

恒成立,即恒成立,

只要,若要在在恒成立,即恒成立,

只要。即的取值范围是。…………12分

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题型:填空题
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填空题

曲线在点处的切线方程                  .

正确答案

试题分析:因为点在函数上,又函数的导数为.所以在点处的切线方程的斜率为.,所以过点处的切线方程为.故填.本小题的关键是判断点A与曲线的位置关系.

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题型:简答题
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简答题

设函数,曲线过点P(1,0),且在P点处的切斜线率为2.

(1)求的值;

(2)证明:

正确答案

(1) ;(2)详见解析.

试题分析:(1)由曲线过点(1,0),将点坐标代入解析式中,得关于的方程,再利用,得关于的另一个方程,联立求出;(2)证明,可构造差函数,证明,此题记,然后利用导数求的最大值.

试题解析:(1),由已知条件得 即   解得

(2)的定义域为,由(I)知,设=

,则,当时,;当时,,所以上单调增加,在(1,+)上单调减少,∴,故当时,,即

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题型:简答题
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简答题

(本小题满分12分)已知函数).

(1)试讨论在区间上的单调性;

(2)当时,曲线上总存在相异两点,使得曲线在点处的切线互相平行,求证:.

正确答案

(1)上单调递减,在上单调递增. (2)证明:见解析。

本试题主要是考查了导数在研究函数的运用。

(1)由已知,根据导数的符号判定函数单调性,得到结论。

(2)因为由题意可得,当时,,且).

 ,

所以.,借助于不等式来证明。

(1)由已知.

,得.  因为,所以,且

所以在区间上,;在区间上,.

上单调递减,在上单调递增.            ……………6分

(2)证明:由题意可得,当时,,且).

 ,

所以.     ………8分

因为,且,所以恒成立,

所以,又

所以,整理得.         

,因为,所以上单调递减,

所以上的最大值为, 所以.…………12分

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题型:简答题
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简答题

某小区要建一座八边形的休闲小区,它的主体造型的平面图是由二个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200 m2的十字型地域,计划在正方形MNPQ上建一座“观景花坛”,造价为4200元/m2,在四个相同的矩形上(图中阴影部分)铺花岗岩地坪,造价为210元/m2,再在四个空角(如ΔDQH等)上铺草坪,造价为80元/m2

设总造价为S元,AD长为xm,试建立S与x的函数关系;

当x为何值时,S最小?并求这个最小值。

正确答案

(1) ;(2)时,

(1)设DQ="y," 又AD=x,则

(2)

当且仅当,即时,

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题型:填空题
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填空题

,…,

,则=(    )

正确答案

C

,

,

,

显然周期为4,所以.

百度题库 > 高考 > 数学 > 导数及其应用

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