- 基本不等式及其应用
- 共6247题
某厂有一批长为2.5m的条钢，要截成60cm长和42cm长的两种零件毛坯，怎样下料能使损耗最小？
正确答案
则0.6x+0.42y≤2.5
又2.5÷0.6∈（4，5），2.5÷0.42∈[5，6]
故x∈[0，4]，y∈[0，5]
如图，作出网格线，找出整点验证
验证知，x=2，y=3，损耗最小．
即截成60cm长的2个，42cm长的毛坯3个损耗最小．
解析
则0.6x+0.42y≤2.5
又2.5÷0.6∈（4，5），2.5÷0.42∈[5，6]
故x∈[0，4]，y∈[0，5]
如图，作出网格线，找出整点验证
验证知，x=2，y=3，损耗最小．
即截成60cm长的2个，42cm长的毛坯3个损耗最小．
正确答案
解析
解：经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数为y=
要求y的最小值，只需求ab的最大值．
其中a、b满足2a+4b+2ab=60，b=
记u=ab=
由u‘=
且当0＜a＜6时，u'＞0，当6＜a＜30时u'＜0，
∴u=
从而当且仅当a=6，b=3时，y=
故选D．
用长为6a的铁丝围成一个矩形，当长为______时，面积最大，最大值为______．
正确答案
解析
解：设矩形长为xcm（0＜x＜3a），则宽为（3a-x）cm，
面积S=x（3a-x），由于x＞0，3a-x＞0，
可得S≤（
所以矩形的最大面积是
故答案为：
某企业用49万元引进一条年产值25万元的生产线，为维持该生产线正常运转，第一年需各种费用6万元，从第二年开始包括维修费用在内，每年所需费用均比上一年增加2万元．
（1）该生产线第几年开始盈利（即总收入减去成本及所需费用之差为正值？）
（2）该生产线生产若干年后，处理方案有两种：①年平均盈利达到最大值时，以18万元的价格卖出；②盈利总额达到最大值时，以9万元的价格卖出，问那一种方案较为合理，请说明理由．
正确答案
解：（1）设该生产线第n年开始盈利，盈利为y万元．
则y=25n-[6n+
由y=-n2+20n-49＞0解得 10-
（2）按照方案一，年平均盈利为
按照方案二，盈利 y=-n2+20n-49=-（n-10）2+51，当且仅当n=10时，盈利总额y+9=60万元．
两种方案盈利总额相等，但方案二用的时间较长，故应选方案一．
解析
解：（1）设该生产线第n年开始盈利，盈利为y万元．
则y=25n-[6n+
由y=-n2+20n-49＞0解得 10-
（2）按照方案一，年平均盈利为
按照方案二，盈利 y=-n2+20n-49=-（n-10）2+51，当且仅当n=10时，盈利总额y+9=60万元．
两种方案盈利总额相等，但方案二用的时间较长，故应选方案一．
现在要建造一个长方体游泳池，其容积为200m3，深为2m．如果池底每平方米的造价为200元，池壁每平方米的造价为150元，问：怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少元？
正确答案
解：设底面的长为xm，宽为ym，水池总造价为z元，
则由容积为200m3，可得：2xy=200，因此xy=100，
z=200×100+150（2×2x+2×2y）=20000+600（x+y）≥20000+600•2
当且仅当x=y=10时，取等号．
所以，将水池的地面设计成边长为10m的正方形时总造价最低，最低总造价为32000元．
解析
解：设底面的长为xm，宽为ym，水池总造价为z元，
则由容积为200m3，可得：2xy=200，因此xy=100，
z=200×100+150（2×2x+2×2y）=20000+600（x+y）≥20000+600•2
当且仅当x=y=10时，取等号．
所以，将水池的地面设计成边长为10m的正方形时总造价最低，最低总造价为32000元．
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