- 基本不等式及其应用
- 共6247题
已知直线ax+by=1和点A（b，a）（其中a，b都是正实数），若直线过点P（1，1），则以坐标原点O为圆心，OA长为半径的圆面积的最小值等于（ ）
A
B
C
Dπ
正确答案
解析
解：∵直线ax+by=1过点P（1，1），∴a+b=1
以坐标原点O为圆心，OA长为半径的圆面积的最小时，OA最小
∵A（b，a），∴OA=
∵a2+b2≥2ab
∴2（a2+b2）≥（a+b）2=1
∴OA≥
∴以坐标原点O为圆心，OA长为半径的圆面积的最小值等于
故选C．
a，b是正实数，则
正确答案
解析
解：
≥2
=4+4+8=16
当且仅当
即a=b=
故选D．
已知函数f（x）=kx+b的图象与x，y轴分别相交于点A、B，
（1）求k，b的值；
（2）当x满足f（x）＞g（x）时，求函数
正确答案
解：（1）由已知得A（
于是
（2）由f（x）＞g（x），得x+2＞x2-x-6，
即（x+2）（x-4）＜0，得-2＜x＜4，
由
由于x+2＞0，则
∴
解析
解：（1）由已知得A（
于是
（2）由f（x）＞g（x），得x+2＞x2-x-6，
即（x+2）（x-4）＜0，得-2＜x＜4，
由
由于x+2＞0，则
∴
某商场中秋前30天月饼销售总量f（t）与时间t（0＜t≤30）的关系大致满足f（t）=t2+10t+16，则该商场前t天平均售出（如前10天的平均售出为
正确答案
解析
解：平均销售量y=
=t+
当且仅当t=
即平均销售量的最小值为18．
故选A
（1）现对其进行切割，焊接成一个长方体形水箱（无盖），
①从四个角处切去全等的小正方形，边长为x，
求水箱容积关于x的函数关系式V=f（x）及最大容积值；
②由于上述切割存在浪费，如果将切割下的小钢片重新焊接能够做成
水箱上盖，请你求出水箱容积的最大值；（结果保留小数点后两位）
（2）若不许材料浪费，则所做成的长方体水箱（无盖）的表面积是40，你能猜测出理论上最理想的焊接设计模型是怎样的，才能使容积达到最大吗？（给出焊接模型即可）
正确答案
解：（1）①由题意知，水箱的底边两边长分别为8-2x米、5-2x米，高为x米
∴容积V=（8-2x）（5-2x）x，依题应有8-2x＞0，5-2x＞0．x＞0，∴0＜x＜
∴f（x）=（8-2x）（5-2x）x，定义域为（0，
f′（x）=12x2-52x+40=4（x-1）（3x-10），
令f′（x）=0解得x=1 （x=
0＜x＜1时，f′（x）＞0；1＜x＜
∴f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，
∴当x=1时，f（x）max=f（1）=18（平方米） …（6分）
②由题知，4x2≥（8-2x）（5-2x），解得x≥
由①可知，f（x）在[
∴当x=
（2）设长方体的长宽高分别为a，b，c，由题知ab+2ac+2bc=40
由均值定理得，40≥
当且仅当a=b=2c时取等号，这时底面为正方形
∴理论上最理想的焊接设计是正四棱柱，此时容积最大．…（12分）
解析
解：（1）①由题意知，水箱的底边两边长分别为8-2x米、5-2x米，高为x米
∴容积V=（8-2x）（5-2x）x，依题应有8-2x＞0，5-2x＞0．x＞0，∴0＜x＜
∴f（x）=（8-2x）（5-2x）x，定义域为（0，
f′（x）=12x2-52x+40=4（x-1）（3x-10），
令f′（x）=0解得x=1 （x=
0＜x＜1时，f′（x）＞0；1＜x＜
∴f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，
∴当x=1时，f（x）max=f（1）=18（平方米） …（6分）
②由题知，4x2≥（8-2x）（5-2x），解得x≥
由①可知，f（x）在[
∴当x=
（2）设长方体的长宽高分别为a，b，c，由题知ab+2ac+2bc=40
由均值定理得，40≥
当且仅当a=b=2c时取等号，这时底面为正方形
∴理论上最理想的焊接设计是正四棱柱，此时容积最大．…（12分）
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