基本不等式及其应用
共6247题

· 基本不等式及其应用

基本不等式及其应用
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题型：填空题

填空题

已知正数x，y满足xy=1，则x2+y2的最小值为______．

正确答案

解析

解：正数x，y满足xy=1，

则x2+y2≥2xy=2，

当且仅当x=y=1时，取得最小值，且为2．

故答案为：2．

题型：简答题

简答题

为迎接2010年上海世博会，要设计如图的一张矩形广告，该广告含有大小相等的左中右三个矩形栏目，这三栏的面积之和为60000cm2，四周空白的宽度为10cm，栏与栏之间的中缝空白的宽度为5cm，怎样确定广告矩形栏目高与宽的尺寸（单位：cm），能使整个矩形广告面积最小．

正确答案

解：设矩形栏目的高为acm，宽为bcm，则ab=20000，∴

广告的高为（a+20）cm，宽为（3b+30）cm（其中a＞0，b＞0）

广告的面积

当且仅当，即a=200时，取等号，此时b=100．

故当广告矩形栏目的高为200cm，宽为100cm时，可使广告的面积最小．

解析

解：设矩形栏目的高为acm，宽为bcm，则ab=20000，∴

广告的高为（a+20）cm，宽为（3b+30）cm（其中a＞0，b＞0）

广告的面积

当且仅当，即a=200时，取等号，此时b=100．

故当广告矩形栏目的高为200cm，宽为100cm时，可使广告的面积最小．

题型：简答题

简答题

某企业有两个生产车间分别在A、B两个位置，A车间有100名员工，B车间有400名员工，现要在公路AC上找一点D，修一条公路BD，并在D处建一个食堂，使得所有员工均在此食堂用餐，已知A、B、C中任意两点间的距离均是1km，设∠BDC=α，所有员工从车间到食堂步行的总路程为S．

（1）写出S关于α的函数表达式，并指出α的取值范围；

（2）问食堂D建在距离A多远时，可使总路程S最少？

正确答案

解：（1）在△BCD中，∵，

∴，．

则．

，其中．

（2）

令S‘=0，得．

当时，S'＜0，S是α的单调减函数；

当时，S'＞0，S是α的单调增函数．

∴当时，S取得最小值．

此时，，

=．

解析

解：（1）在△BCD中，∵，

∴，．

则．

，其中．

（2）

令S‘=0，得．

当时，S'＜0，S是α的单调减函数；

当时，S'＞0，S是α的单调增函数．

∴当时，S取得最小值．

此时，，

=．

题型：单选题

单选题

某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，上底边长为8，下底边长为24，高为20，为降低消耗，开源节流，现在从这此边角料上截取矩形铁片（如图中阴影部分）备用，则截取的矩形面积最大值为（　　）

A190

B180

C170

D160

正确答案

解析

解：由直角三角形相似得，得x=•（24-y），

∴矩形面积S=xy=-（y-12）2+180，

∴当y=12时，S有最大值180．

故选：B．

题型：简答题

简答题

某单位建造一间背面靠墙的小房，地面面积为12m2，房屋正面每平方米造价为1200元，房屋侧面每平方米造价为800元，屋顶的造价为5800元，如果墙高为3m，且不计房屋背面和地面的费用，设房屋正面地面的边长为xm，房屋的总造价为y元．

（Ⅰ）求y用x表示的函数关系式；

（Ⅱ）怎样设计房屋能使总造价最低？最低总造价是多少？

正确答案

解：（Ⅰ）如图所示，设底面的长为xm，宽ym，则y=m．

设房屋总造价为f（x），

由题意可得f（x）=3x•1200+3××800×2+5800=3600（x+）+5800（x＞0）

（Ⅱ）f（x）=3600（x+）+5800≥28800+5800=34600，

当且仅当x=4时取等号．

答：当底面的长宽分别为4m，3m时，可使房屋总造价最低，总造价是34600元．

解析

解：（Ⅰ）如图所示，设底面的长为xm，宽ym，则y=m．

设房屋总造价为f（x），

由题意可得f（x）=3x•1200+3××800×2+5800=3600（x+）+5800（x＞0）

（Ⅱ）f（x）=3600（x+）+5800≥28800+5800=34600，

当且仅当x=4时取等号．

答：当底面的长宽分别为4m，3m时，可使房屋总造价最低，总造价是34600元．

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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