基本不等式及其应用
共6247题

基本不等式及其应用
共6247题

热门试卷

题型：简答题

简答题

如图所示，一科学考察船从港口O出发，沿北偏东α角的射线OZ方向航行，而在离港口（a为正常数）海里的北偏东β角的A处有一个供给科考船物资的小岛，其中，．现指挥部需要紧急征调沿海岸线港口O正东m（）海里的B处的补给船，速往小岛A装运物资供给科考船，该船沿BA方向全速追赶科考船，并在C处相遇．经测算当两船运行的航向与海岸线OB围成的三角形OBC的面积最小时，这种补给最适宜．

（1）求S关于m的函数关系式S（m）；

（2）应征调m为何值处的船只，补给最适宜．

正确答案

解：以O为原点，正北方向为轴建立直角坐标系，直线OZ的方程为y=3x①，

（1）设A（x0，y0），∵cosβ=，∴sinβ=，

则x0=asinβ=3a，y0=acosβ=2a，∴A（3a，2a）．

又B（m，0），则直线AB的方程为y= （x-m） ②

由①、②解得，C（，），

∴S（m）=S△OBC=|OB||yc|=×m×=（m＞a）．

（2）S（m）==a[（m-a）++a]≥

当且仅当m-a=，即m=时，等号成立，

故当m=海里时，补给最适宜．

解析

解：以O为原点，正北方向为轴建立直角坐标系，直线OZ的方程为y=3x①，

（1）设A（x0，y0），∵cosβ=，∴sinβ=，

则x0=asinβ=3a，y0=acosβ=2a，∴A（3a，2a）．

又B（m，0），则直线AB的方程为y= （x-m） ②

由①、②解得，C（，），

∴S（m）=S△OBC=|OB||yc|=×m×=（m＞a）．

（2）S（m）==a[（m-a）++a]≥

当且仅当m-a=，即m=时，等号成立，

故当m=海里时，补给最适宜．

题型：填空题

填空题

定义“*”运算：对任意实数x，y满足x*y=axy+b（x+y），其中a，b为正实数，已知1*2=4，则ab取最大值时，a=______．

正确答案

解析

解：由题意x*y=axy+b（x+y），及1*2=4，

得2a+3b=4，a，b为正实数，

∴4=2a+3b，

∴，

当且仅当2a=3b，即2a+2a=4时取等号，∴a=1．

故答案为：1．

题型：单选题

单选题

函数y=3x2+的最小值是（　　）

A3-3

B-3

D6-3

正确答案

解析

解：令t=x2+1（t≥1），

则y=3（t-1）+=3t+-3≥2-3=6-3，

当且仅当3t=，

即t=时，函数y=3x2+的最小值是6-3．

故选D．

题型：简答题

简答题

某农户准备建一个水平放置的直四棱柱形储水窖（如图），其中直四棱柱的高AA1=10m，两底面ABCD，A1B1C1D1是高为2m，面积为10m2的等腰梯形，且∠ADC=θ（0＜θ＜）．若储水窖顶盖每平方米的造价为100元，侧面每平方米的造价为400元，底部每平方米的造价为500元．

（1）试将储水窖的造价y表示为θ的函数；

（2）该农户如何设计储水窖，才能使得储水窖的造价最低，最低造价是多少元（取=1.73）．

正确答案

解：（1）过A作AE⊥DC，垂足为E，则AE=2，，

令AB=x，从而，

故，

解得，，（4分）

所以y=（20+2AD×10）×400+（10AB）×500+（10CD）×100

==（7分）

（2）因为，

所以（10分）

令y‘=0，则，

当时，y'＜0，此时函数y单调递减；

当时，y'＞0，此时函数y单调递增．

所以当时，．

答：当∠ADC=60°时，等价最低，最低造价为51840元．（15分）

解析

解：（1）过A作AE⊥DC，垂足为E，则AE=2，，

令AB=x，从而，

故，

解得，，（4分）

所以y=（20+2AD×10）×400+（10AB）×500+（10CD）×100

==（7分）

（2）因为，

所以（10分）

令y‘=0，则，

当时，y'＜0，此时函数y单调递减；

当时，y'＞0，此时函数y单调递增．

所以当时，．

答：当∠ADC=60°时，等价最低，最低造价为51840元．（15分）

题型：单选题

单选题

某制冷设备厂设计生产一种长方形薄板，如图所示，长方形ABCD（AB＞AD）的周长为4米，沿AC折叠使B到B′位置，AB′交DC于P．研究发现当ADP的面积最大时最节能，则最节能时ADP的面积为（　　）

A2-2

B3-2

C2-

正确答案

解析

解：设AB=x，DP=y，BC=2-x，PC=x-y．

∵x＞2-x，∴1＜x＜2，

∵△ADP≌△CB′P，

∴PA=PC=x-y．

由PA2=AD2+DP2，得（x-y）2=（2-x）2+y2⇒y=2（1-），1＜x＜2，

记△ADP的面积为S，则S=（1-）（2-x）=3-（x+）≤3-2，

当且仅当x=∈（1，2）时，S取得最大值．

故选：B．

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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