基本不等式及其应用
共6247题

· 基本不等式及其应用

基本不等式及其应用
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题型：简答题

简答题

（1）已知x＞1，求f（x）=x+的最小值；

（2）已知0＜x＜，求y=2x-5x2的最大值．

正确答案

解：（1）∵x＞1，∴x-1＞0，

∴f（x）=x+=x-1++1≥2+1=2+1=3．

当且仅当x-1=，即x=2时，等号成立．

∴f（x）的最小值为3；

（2）y=2x-5x2=x（2-5x）=•5x•（2-5x），

∵0＜x＜，∴5x＜2，2-5x＞0，

∴5x（2-5x）≤（）2=1，

∴y≤，当且仅当5x=2-5x，

即x=时，ymax=．

解析

解：（1）∵x＞1，∴x-1＞0，

∴f（x）=x+=x-1++1≥2+1=2+1=3．

当且仅当x-1=，即x=2时，等号成立．

∴f（x）的最小值为3；

（2）y=2x-5x2=x（2-5x）=•5x•（2-5x），

∵0＜x＜，∴5x＜2，2-5x＞0，

∴5x（2-5x）≤（）2=1，

∴y≤，当且仅当5x=2-5x，

即x=时，ymax=．

题型：填空题

填空题

已知关于x的不等式x+≥5在x∈（1，+∞）恒成立，则正数a的最小值为______．

正确答案

解析

解：∵a＞0，x＞1，

∴x+=（x-1）++1≥2+1

∵关于x的不等式x++≥5在x∈（1，+∞）恒成立，

∴2≥4

∴a≥4

∴a的最小值为4

故答案为4．

题型：简答题

简答题

为了迎接青奥会，南京将在主干道统一安装某种新型节能路灯，该路灯由灯柱和支架组成．在如图所示的直角坐标系中，支架ACB是抛物线y2=2x的一部分，灯柱CD经过该抛物线的焦点F且与路面垂直，其中C在抛物线上，B为抛物线的顶点，DH表示道路路面，BF∥DH，A为锥形灯罩的顶，灯罩轴线与抛物线在A处的切线垂直．安装时要求锥形灯罩的顶到灯柱的距离是1.5米，灯罩的轴线正好通过道路路面的中线．

（1）求灯罩轴线所在的直线方程；

（2）若路宽为10米，求灯柱的高．

正确答案

解：（1）由题意知，BF=，则xA=1.5+=2，

代入y2=2x得yA=2，故A（2，2）．

设点A处的切线方程为y-2=k（x-2），

代入抛物线方程y2=2x消去x，得ky2-2y+4-4k=0．

则△=4-4k（4-4k）=0，解得k=．

故灯罩轴线的斜率为-2，其方程为y-2=-2（x-2），即y=-2x+6．

（2）由于路宽为10，则当x=时，y=-5，从而FD=5．

又CF=1，则CD=6．

答：灯柱的高为6米．

解析

解：（1）由题意知，BF=，则xA=1.5+=2，

代入y2=2x得yA=2，故A（2，2）．

设点A处的切线方程为y-2=k（x-2），

代入抛物线方程y2=2x消去x，得ky2-2y+4-4k=0．

则△=4-4k（4-4k）=0，解得k=．

故灯罩轴线的斜率为-2，其方程为y-2=-2（x-2），即y=-2x+6．

（2）由于路宽为10，则当x=时，y=-5，从而FD=5．

又CF=1，则CD=6．

答：灯柱的高为6米．

题型：填空题

填空题

若直线ax-by+1=0（a＞0，b＞0）和函数f（x）=ax+1+1（a＞0且a≠1）的图象恒过同一个定点，则当+取最小值时，函数f（x）的解析式是______．

正确答案

f（x）=（）x+1+1．

解析

解：在函数f（x）=ax+1+1（a＞0且a≠1）中，令x+1=0，得x=-1时，f（-1）=a0+1=2，

即函数f（x）的图象过定点（-1，2），

∵点（-1，2）在直线ax-by+1=0上，∴a×（-1）-b×2+1=0，即a+2b=1．

又a＞0，b＞0，∴+=（+）（a+2b）=3+≥3+2=3+2．

当且仅当即a=b时，+取得最小值3+2．此时，联立a+2b=1，得a=1，

从而f（x）=（）x+1+1．

故答案为：f（x）=（）x+1+1．

题型：简答题

简答题

已知a、b、c∈R+，a+b+c=1，求证：

（1）（1-a）（1-b）（1-c）≥8abc；

（2）（1+a）（1+b）（1+c）≥8（1-a）（1-b）（1-c）；

（3）（-1）（-1）（-1）≥8；

（4）++≥1．

正确答案

证明：（1）∵a、b、c∈R+，a+b+c=1，

∴（1-a）（1-b）（1-c）=（b+c）（a+c）（a+b）≥××=8abc，当且仅当a=b=c=时取等号．

∴（1-a）（1-b）（1-c）≥8abc；

（2）∵a、b、c∈R+，

∴（1+a）（1+b）（1+c）=[（a+b）+（a+c）][（a+b）+（b+c）]）=[（a+c）+（b+c）]

≥××2

=8（a+b）（a+c）（b+c）

=8（1-a）（1-b）（1-c）；

∴（1+a）（1+b）（1+c）≥8（1-a）（1-b）（1-c）成立；

（3）（-1）（-1）（-1）≥8⇔（1-a）（1-b）（1-c）≥8abc，由（1）可知成立；

（4）∵a、b、c∈R+，a+b+c=1．

∴b2c2+a2c2+a2b2≥a2bc+ab2c+abc2=abc（a+b+c）=abc，

∴++≥1．

解析

证明：（1）∵a、b、c∈R+，a+b+c=1，

∴（1-a）（1-b）（1-c）=（b+c）（a+c）（a+b）≥××=8abc，当且仅当a=b=c=时取等号．

∴（1-a）（1-b）（1-c）≥8abc；

（2）∵a、b、c∈R+，

∴（1+a）（1+b）（1+c）=[（a+b）+（a+c）][（a+b）+（b+c）]）=[（a+c）+（b+c）]

≥××2

=8（a+b）（a+c）（b+c）

=8（1-a）（1-b）（1-c）；

∴（1+a）（1+b）（1+c）≥8（1-a）（1-b）（1-c）成立；

（3）（-1）（-1）（-1）≥8⇔（1-a）（1-b）（1-c）≥8abc，由（1）可知成立；

（4）∵a、b、c∈R+，a+b+c=1．

∴b2c2+a2c2+a2b2≥a2bc+ab2c+abc2=abc（a+b+c）=abc，

∴++≥1．

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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