基本不等式及其应用
共6247题

· 基本不等式及其应用

基本不等式及其应用
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题型：填空题

填空题

已知a，b∈R+，且a+b=1，则的最小值为______．

正确答案

解析

解：∵a，b∈R+，且a+b=1，

∴==2+=4，当且仅当a=b=时取等号．

∴的最小值为4．

故答案为：4．

题型：填空题

填空题

已知正数a，b满足a+b=3，则a•b的最大值为______．

正确答案

解析

解：∵正数a，b满足a+b=3，

∴3，

化为，当且仅当a=b=时取等号．

则a•b的最大值为．

故答案为：．

题型：填空题

填空题

已知x＞0，则y=的最大值是______．

正确答案

解析

解：∵x＞0，∴==．当且仅当x=2时取等号．

∴y=的最大值是．

故答案为．

题型：填空题

填空题

设x＞0，则x+的最小值为______．

正确答案

解析

解：∵x＞0，

∴x+=x+1+-1-1=-1，当且仅当x=-1时取等号．

故答案为：．

题型：简答题

简答题

求最小值：

（1）y=x+（x＞0）；（2）y=x+（x≥5）；

（3）y=x+（x≥a，a＞0）；

（4）y=9x+（x＞1）；

（5）y=sinx+（0＜x＜π）；

（6）y=；

（7）y=（x＞-2）．

正确答案

解：（1）∵x＞0，∴y=x+=4，当且仅当x=2时取等号，因此y的最小值为4；

（2）∵x≥5，∴f′（x）=1-=＞0，∴函数y=x+在x≥5时单调递增，∴当x=5时，函数f（x）取得最小值；

（3）∵f′（x）=1-=，∴当0＜a＜2，当x=a时，函数y=x+取得最小值a+；

当a≥2时，利用单调性可知：当x=a时，函数y=x+取得最小值a+；

（4）y=9x+=9（x-1）++9+9=21，当且仅当x=时取等号，因此最小值为21；

（5）∵0＜x＜π，∴0＜sinx≤1，利用f（t）=t+在t∈（0，1]时单调递减，∴当sinx=1（即x=）时，函数y取得最小值5；

（6）y==，当且仅当x2=7时函数y取得最小值8；

（7）∵x＞-2，∴y===4（x+2）+≥2=4，当且仅当x=时取等号，∴函数y的最小值为4．

解析

解：（1）∵x＞0，∴y=x+=4，当且仅当x=2时取等号，因此y的最小值为4；

（2）∵x≥5，∴f′（x）=1-=＞0，∴函数y=x+在x≥5时单调递增，∴当x=5时，函数f（x）取得最小值；

（3）∵f′（x）=1-=，∴当0＜a＜2，当x=a时，函数y=x+取得最小值a+；

当a≥2时，利用单调性可知：当x=a时，函数y=x+取得最小值a+；

（4）y=9x+=9（x-1）++9+9=21，当且仅当x=时取等号，因此最小值为21；

（5）∵0＜x＜π，∴0＜sinx≤1，利用f（t）=t+在t∈（0，1]时单调递减，∴当sinx=1（即x=）时，函数y取得最小值5；

（6）y==，当且仅当x2=7时函数y取得最小值8；

（7）∵x＞-2，∴y===4（x+2）+≥2=4，当且仅当x=时取等号，∴函数y的最小值为4．

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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