基本不等式及其应用
共6247题

· 基本不等式及其应用

基本不等式及其应用
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题型：简答题

简答题

已知x，y∈R+，且x+4y+xy=5，求xy的最大值，并求xy取最大值时x、y的值．

正确答案

解：∵x，y∈R+，且x+4y+xy=5，…（1分）

∴x+4y≥2 即 5-xy≥4，…（5分）

∴xy+4-5≤0，

∴（+5）（-1）≤0．

∵（+5）＞0，

∴xy≤1． …（9分）

当且仅当 x=4y 即 x=2，y= 时，xy取最大值为1． …（13分）

解析

解：∵x，y∈R+，且x+4y+xy=5，…（1分）

∴x+4y≥2 即 5-xy≥4，…（5分）

∴xy+4-5≤0，

∴（+5）（-1）≤0．

∵（+5）＞0，

∴xy≤1． …（9分）

当且仅当 x=4y 即 x=2，y= 时，xy取最大值为1． …（13分）

题型：简答题

简答题

某公司因业务发展需要，准备印制如图所示的宣传彩页，宣传彩页有三幅大小相同的三个画面组成，每个画面的面积都是200cm2，这三个画面中都要绘制半径为5cm的圆形图案，为美观起见，每两个画面之间要留1cm的空白，三幅画周围要留2cm页边距，如图，设一边长x，所选用的彩页纸张面积为S

（Ⅰ）试写出所选用彩页纸张面积S关于x的函数解析式及其定义域

（Ⅱ）为节约纸张，即使所选用的纸张面积最小，应选用长宽分别为多少的纸张？

正确答案

解：（Ⅰ）设一边长xcm，则另一边长cm，

∵这三个画面中都要绘制半径为5cm的圆形图案，

∴，∴10≤x≤20，

所选用彩页纸张面积S=（3x+6）（+4）=624+6（2x+）（10≤x≤20）；

（Ⅱ）S=624+6（2x+）≥624+6×2=864，

当且仅当2x=，即x=10时取等号，

∴x=10时，所选用的纸张面积最小，此时，应选用长宽分别为36cm，24cm．

解析

解：（Ⅰ）设一边长xcm，则另一边长cm，

∵这三个画面中都要绘制半径为5cm的圆形图案，

∴，∴10≤x≤20，

所选用彩页纸张面积S=（3x+6）（+4）=624+6（2x+）（10≤x≤20）；

（Ⅱ）S=624+6（2x+）≥624+6×2=864，

当且仅当2x=，即x=10时取等号，

∴x=10时，所选用的纸张面积最小，此时，应选用长宽分别为36cm，24cm．

题型：单选题

单选题

（2015秋•铜陵校级月考）已知a＞-1，b＞-2，（a+1）（b+2）=16，则a+b的最小值是（　　）

正确答案

解析

解：由a＞-1，b＞-2，

可得a+1＞0，b+2＞0，

则a+b=（a+1）+（b+2）-3

≥2-3

=2×4-3=5，

当且仅当a+1=b+2=4，即a=3，b=2，取得最小值5．

故选：B．

题型：简答题

简答题

已知a，b，c＞0，求证：S=++≥（a+b+c）．

正确答案

证明：∵a，b，c＞0，

∴由柯西不等式可得（c+b+c+a+a+b）（++）≥（a+b+c）2，

∴S=++≥（a+b+c）．

解析

证明：∵a，b，c＞0，

∴由柯西不等式可得（c+b+c+a+a+b）（++）≥（a+b+c）2，

∴S=++≥（a+b+c）．

题型：填空题

填空题

已知两条直线l1：y=m 和l2：y=（m＞0），直线l1与函数y=|log2x|的图象从左至右相交于点A，B，直线l2与函数y=|log2x|的图象从左至右相交于C，D．记线段AC和BD在X轴上的投影长度分别为a 和b．当m变化时，的最小值为______．

正确答案

解析

解：设A，B，C，D各点的横坐标分别为xA，xB，xC，xD，

则-log2xA=m，log2xB=m；-log2xC=，log2xD=；

∴xA=2-m，xB=2m，xC=，xD=．

∴a=|xA-xC|，b=|xB-xD|，

∴==2m•=

又m＞0，∴m+=（2m+1）+-≥2-=，

当且仅当，即m=时取“=”号，

∴≥=8，

故答案为：8．

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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