- 反证法与放缩法
- 共66题
利用柯西不等式证明平方平均不等式．
设a1、a2、…，an∈R+，则
正确答案
证明：由柯西不等式可得（12+12+…+12）（a12+a22+…+an2）≥（a1+a2+…+an）2，
∴
解析
证明：由柯西不等式可得（12+12+…+12）（a12+a22+…+an2）≥（a1+a2+…+an）2，
∴
已知2x+3y=12，利用柯西不等式求x2+y2的最小值．
正确答案
解：因为2x+3y=12，
所以利用柯西不等式得（x2+y2）（22+32）≥（2x+3y）2，
即13（x2+y2）≥122，
即x2+y2≥
即x2+y2的最小值为
解析
解：因为2x+3y=12，
所以利用柯西不等式得（x2+y2）（22+32）≥（2x+3y）2，
即13（x2+y2）≥122，
即x2+y2≥
即x2+y2的最小值为
已知x≥1，y≥1，求证：x2y+xy2+1≤x2y2+x+y．
正确答案
证明：左边-右边=（y-y2）x2+（y2-1）x-y+1=（1-y）[yx2-（1+y）x+1]…（4分）
=（1-y）（xy-1）（x-1），…（6分）
∵x≥1，y≥1，
∴1-y≤0，xy-1≥0，x-1≥0． …（8分）
从而左边-右边≤0，
∴x2y+xy2+1≤x2y2+x+y． …（10分）
解析
证明：左边-右边=（y-y2）x2+（y2-1）x-y+1=（1-y）[yx2-（1+y）x+1]…（4分）
=（1-y）（xy-1）（x-1），…（6分）
∵x≥1，y≥1，
∴1-y≤0，xy-1≥0，x-1≥0． …（8分）
从而左边-右边≤0，
∴x2y+xy2+1≤x2y2+x+y． …（10分）
若a2+b2=1，x2+y2=4，则ax+by的最大值为______．
正确答案
2
解析
解：因为a2+b2=1，x2+y2=4，
由柯西不等式（a2+b2）（x2+y2）≥（ax+by）2，得
4≥（ax+by）2，当且仅当ay=bx时取等号，
所以ax+by的最大值为2．
故答案为：2．
已知a，b，c∈R，且a+b+c=3，a2+b2+c2的最小值为M．
（Ⅰ）求M的值；
（Ⅱ）解关于x的不等式|x+4|-|x-1|≥M．
正确答案
解：（Ⅰ）由柯西不等式可得（a2+b2+c2）（1+1+1）≥（a+b+c）2=9，
故a2+b2+c2 ≥3，即a2+b2+c2的最小值为M=3．
（Ⅱ）由不等式|x+4|-|x-1|≥3，可得 
解①求得 x∈∅，解②求得 0≤x＜1，解③求得x≥1，
综上可得，不等式的解集为[0，+∞）．
解析
解：（Ⅰ）由柯西不等式可得（a2+b2+c2）（1+1+1）≥（a+b+c）2=9，
故a2+b2+c2 ≥3，即a2+b2+c2的最小值为M=3．
（Ⅱ）由不等式|x+4|-|x-1|≥3，可得
解①求得 x∈∅，解②求得 0≤x＜1，解③求得x≥1，
综上可得，不等式的解集为[0，+∞）．
函数y=2
正确答案
3
解析
解：由题意得，
则函数的定义域是[
由柯西不等式得，
当且仅当
则当x=
故答案为：3．
已知x，y，z，a∈R，且x2+4y2+z2=6，则使不等式x+2y+3z≤a恒成立的a的最小值为（ ）
A6
B
C8
D
正确答案
解析
解：由x2+4y2+z2=6，利用柯西不等式可得（x+2y+3z）2≤（x2+4y2+z2）（12+12+32）=66，
故有x+2y+3z≤
再根据不等式x+2y+3z≤a恒成立，可得a≥
故选：B．
设a1，a2，…an为实数，证明：a1c1+a2c2+…ancn≤a12+a22+…+an2，其中c1，c2，…，cn是a1，a2，…，an的任一排列．
正确答案
证明：不妨设a1≤a2≤…≤an，若c1=a1，c2=a2，…cn=an，则不等式显然成立
若不等，则c1，c2，…，cn是a1，a2，…，an的一个乱序或者逆序，
根据排序不等式有乱序和逆序都小于正序，所以a1c1+a2c2+…ancn≤a12+a22+…+an2，
所以不等式成立．
解析
证明：不妨设a1≤a2≤…≤an，若c1=a1，c2=a2，…cn=an，则不等式显然成立
若不等，则c1，c2，…，cn是a1，a2，…，an的一个乱序或者逆序，
根据排序不等式有乱序和逆序都小于正序，所以a1c1+a2c2+…ancn≤a12+a22+…+an2，
所以不等式成立．
已知x、y、z为实数，A、B、C是三角形的3个内角，证明x2+y2+z2≥2yzcosA+2zxcosB+2xycosC．
正确答案
证明：x2+y2+z2≥2yzcosA+2zxcosB+2xycosC 等价于x2+y2+z2-x（2ycosC+2zcosB）-2yzcosA≥0，
等价于 （x-ycosC-zcosB）2+y2+z2-2yzcosA-（ycosC+zcosB）2≥0，
等价于 （x-ycosC-zcosB）2+y2sin2C+z2sin2B-yz（2cosA+2cosCcosB）≥0，
等价于 （x-ycosC-zcosB）2+y2sin2C+z2sin2B-yz[-2cos（B+C）+2cosCcosB]≥0，
等价于 （x-ycosC-zcosB）2+y2sin2C+z2sin2B-yz 2sinBsinC≥0，
等价于 （x-ycosC-zcosB）2+（ysinC-zsinB）2 ≥0．
上不等式显然成立，故原命题成立，当且仅当 x=ycosC+zcosB，且ysinC=zsinB时，取等号．
解析
证明：x2+y2+z2≥2yzcosA+2zxcosB+2xycosC 等价于x2+y2+z2-x（2ycosC+2zcosB）-2yzcosA≥0，
等价于 （x-ycosC-zcosB）2+y2+z2-2yzcosA-（ycosC+zcosB）2≥0，
等价于 （x-ycosC-zcosB）2+y2sin2C+z2sin2B-yz（2cosA+2cosCcosB）≥0，
等价于 （x-ycosC-zcosB）2+y2sin2C+z2sin2B-yz[-2cos（B+C）+2cosCcosB]≥0，
等价于 （x-ycosC-zcosB）2+y2sin2C+z2sin2B-yz 2sinBsinC≥0，
等价于 （x-ycosC-zcosB）2+（ysinC-zsinB）2 ≥0．
上不等式显然成立，故原命题成立，当且仅当 x=ycosC+zcosB，且ysinC=zsinB时，取等号．
用柯西不等式求函数y=
A
B3
C4
D5
正确答案
解析
解：由柯西不等式可得，函数y=
当且仅当
故函数y的最大值为4，
故选：C．
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