热门试卷

解：（1）利用柯西不等式可得a2+2b2+3c2≥==6，

当且仅当==，即a=b=c=1时，a2+2b2+3c2取得最小值为6．

（2）证明：++≥=== （*），

当且仅当 ==，即 ==，即 a：b：c=1：3：5，

即a=、b=、c= 时，（*）式取到等号．

解：构造函数f（t）=（1＞t＞0），则f′（t）=＞0，

∴函数f（t）=在（0，1）上单调递增，

∴x∈（0，1），（x-）[f（x）-f（）]≥0，

∴（x-）（-）≥0，

整理得≥（x-），

同理≥（y-），≥（z-），

∴u=++≥（x+y+z-1）=0，

当且仅当x=y=z=时，u=++的最小值为0．

解：由柯西不等式得：（++1）（2a2+3b2+c2）≥（•a+•b+1•c）2=（a+b+c）2=1

∴2a2+3b2+c2≥，

∵不等式2a2+3b2+c2≥|x+1|对a，b，c∈R恒成立，

∴|x+1|≤，…（5分）

∴-≤x+1≤，

∴--，

故所求x的取值范围是--…（7分）

解：由柯西不等式，得[7x+y+（-5）z]2≤[（）2+（）2+（-）2]（3x2+2y2+4z2），

即（7x+y-5z）2≤（3x2+2y2+4z2），…（5分）

即（7x+y-5z）2≤218

所以-≤7x+y-5z≤，

即w=7x+y-5z的最大值为，最小值为-．…（10分）

证明：因为a2+b2≥2ab，所以2=a12+a22+…+an2+x12+x22+…+xn2=（a12+x12）+…+（an2+xn2）

≥2a1x1+…+2anxn=2（a1x1+…+anxn），

即a1x1+a2x2+…+anxn≤1．

证明：因为：[（x-1）2+（y+2）2+（z-3）2]（12+22+32）≥[（x-1）+（y+2）+（z-3）]2

=（x+2y+3z-6）2=142，…（8分）

当且仅当，即x=z=0，y=-4时，取等号，

所以：（x-1）2+（y+2）2+（z-3）2≥14．                    …（10分）