热门试卷

解：设x2+y2+z2=t，则

∵（x+y+z）2=x2+y2+z2+2（xy+yz+xz），

即9=t+2（xy+yz+xz），

∴xy+yz+xz=，

∵x3+y3+z3-3xyz=（x+y+z）（x2+y2+z2-xy-yz-zx），

∴3-3xyz=3（t-），

∴xyz=，

∵x，y，z∈Z，t＞0，

∴t=3，5，7或1（舍去），

∴x2+y2+z2所有可能的值组成的集合为{3，5，7}．

证明：∵因为a+2b+3c=6，∴（a+1）+（2b+2）+（3c+3）=12，

由柯西不等式，可得[（a+1）+（2b+2）+（3c+3）][12+12+12]≥，即12×3≥，

∴++≤6，当且仅当== 时取等号，此时a=3 b=2 c=．

（1）证明：由题意，根据柯西不等式有（++）2≤（12+12+12）[（）2+（）2+（）2]=3[3（x+y+z）+6]=3×9=27，

所以++≤3；

（2）12+22+32=14，∴由柯西不等式可得（12+22+32）（x2+y2+z2）≥（x+2y+3z）2=36，

∴x2+y2+z2≥，即x2+y2+z2的最小值是．

解：（1）由题意可得，z=1-2x-2y，故M=3xy+yz+zx=3xy+（x+y）z=3xy+（x+y）[1-2（x+y）]

=3xy+（x+y）-2（x+y）2≤3•+（x+y）-2（x+y）2=-（x+y）2+（x+y），当且仅当x=y时，取等号．

令t=x+y，则M≤-t2+t=-+≤，当且仅当t=x+y=时，取等号．

综上可得，当且仅当 x=y=时，M=3xy+yz+zx 取得最大值为．

（2）证明：由柯西不等式和（1）的结果可得[3（1+xy）+（1+yz）+（1+xz）]•[++]≥（3+1+1）2，

可得 ++≥=≥=，

不等式得证．