二项分布及其应用_章节学习

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题型：简答题

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简答题

三个元件T1、T2、T3正常工作的概率分别为0.7、0.8、0.9，将它们的某两个并联再和第三个串联接入电路，如图甲、乙、丙所示，问哪一种接法使电路不发生故障的概率最大？

正确答案

图甲的接法电路不发生故障的概率最大.

设元件T1、T2、T3能正常工作的事件为A1、A2、A3，电路不发生故障的事件为A，则P（A1）=0.7，P（A2）=0.8，P（A3）=0.9.

（1）按图甲的接法求P（A）: A=（A1+A2）·A3，

由A1+A2与A3相互独立，则P（A）=P（A1+A2）·P（A3）

又P（A1+A2）=1–P（）=1–P（·）

由A1与A2相互独立知与相互独立，得:

P（·）=P（）·P（）=［1–P（A1）］·［1–P（A2）］

=（1–0.7）×(1–0.8)=0.06，∴P(A1+A2)=0.1–P(·)=1–0.06=0.94，

∴P(A)=0.94×0.9=0.846.

(2)按图乙的接法求P（A） A=（A1+A3）·A2且A1+A3与A2相互独立，则P（A）=P（A1+A3）·P（A2），

用另一种算法求P（A1+A3）.

∵A1与A3彼此不互斥，

根据容斥原理P（A1+A3）=P（A1）+P（A3）–P（A1A3），

∵A1与A3相互独立，

则P（A1·A3）=P（A1）·P（A3）=0.7×0.9=0.63,P(A1+A3)

=0.7+0.9–0.63=0.97

∴P(A)=P(A1+A3)·P(A2)=0.97×0.8=0.776.

(3)按图丙的接法求P（A），用第三种算法.

A=（A2+A3）A1=A2A1+A3A1,

∵A2A1与A3A1彼此不互斥，

据容斥原理，则P（A）=P（A1A2）+P（A1A3）–P（A1A2A3），

又由A1、A2、A3相互独立，得P（A1·A2）=P（A1）P（A2）=0.8×0.7=0.56,

P(A3A1)=P(A3)·P(A1)=0.9×0.7=0.63,

P(A1A2A3)=P(A1)·P(A2)·P(A3)=0.7×0.8×0.9=0.504,

∴P(A)=0.56+0.63–0.504=0.686.

综合（1）、（2）、（3）得，图甲、乙、丙三种接法电路不发生故障的概率值分别为0.846,0.776,0.686.故图甲的接法电路不发生故障的概率最大.

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题型：简答题

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简答题

甲、乙两人参加一次考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中6题，乙能答对其中8题.若规定每次考试分别都从这10题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题算合格.

（1）分别求甲、乙两人考试合格的概率；

（2）求甲、乙两人至少有一人合格的概率.

正确答案

（1）（2）

（1）设甲、乙考试合格分别为事件A、B，甲考试合格的概率为P（A）=，

乙考试合格的概率为P（B）=.

（2）A与B相互独立，且P（A）=，P（B）=,则甲、乙两人至少有一人合格的概率为

P（AB++A）=×+×+×=.

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题型：简答题

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简答题

甲、乙两射击运动员分别对一目标射击次，甲射中的概率为，乙射中的概率为，求：

（1）人都射中目标的概率；

（2）人中恰有人射中目标的概率；

（3）人至少有人射中目标的概率

正确答案

解：记“甲射击次，击中目标”为事件，“乙射击次，击中目标”为事件，则与，与，与，与为相互独立事件，

（1）人都射中的概率为：

，

∴人都射中目标的概率是．

（2）“人各射击次，恰有人射中目标”包括两种情况：一种是甲击中、乙未击中（事件发生），另一种是甲未击中、乙击中（事件发生）根据题意，事件与互斥，根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，所求的概率为：

∴人中恰有人射中目标的概率是．

（3）（法1）：2人至少有1人射中包括“2人都中”和“2人有1人不中”2种情况，其概率为．

（法2）：“2人至少有一个击中”与“2人都未击中”为对立事件，

2个都未击中目标的概率是，

∴“两人至少有1人击中目标”的概率为．

略

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题型：简答题

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简答题

甲：105 102 97 96 100 乙：100 101 102 97 100

（I）分别求甲、乙的样本平均数与方差，并由此估计谁加工的零件较好？

（II）若从乙样本的5件产品中再次随机抽取2件，试求这2件产品中至少有一件产品直径为100mm的概率

正确答案

（I）甲、乙的样本平均数与方差依次为100、10.8，100、2.8；乙加工的零件较好

（II）7/10

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题型：简答题

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简答题

（12分）甲、乙、丙三人各进行一次射击，如果三人击中目标的概率都是0.6，求⑴三人都击中目标的概率；⑵其中恰有两人击中目标的概率；⑶至少有一人击中目标的概率.

正确答案

⑴

⑵

⑶

(1)记“甲射击一次击中目标”为事件A,“乙射击一次击中目标”为事件B,“丙射击一次击中目标”为事件C,则事件　 A，B，C , 之间都是相互独立的,根据独立相乘的概率计算公式计算事件的概率.

（2）恰有两人击中目标等价于.

(3)可以利用对立事件的概率计算公式求解即.

记“甲射击一次击中目标”为事件A,“乙射击一次击中目标”为事件B,“丙射击一次击中目标”为事件C, 根据题意，事件　 A，B，C , 之间都是相互独立的，可以由概率乘法公式得

⑴

⑵

⑶

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题型：简答题

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简答题

(本小题满分12分)在举办的环境保护知识有奖问答比赛中，甲、乙、丙同时回答一道有关环境保护知识的问题，已知甲回答对这道题目的概率是，甲、丙两人都回答错的概率是，乙、丙两人都回答对的概率是.

（1）求乙、丙两人各自回答对这道题目的概率.

（2）求甲、乙、丙三人中至少有两人回答对这道题目的概率.

正确答案

（1）设乙、丙各自回答对的概率分别是，，；

(2).

(1)设乙、丙各自回答对的概率分别是，根据题意，得

解方程组即可.

(2)本事件包括四个基本事件，并且基本事件之间是互斥的.求出每个基本事件的概率，然后求和即可.

解：（1）设乙、丙各自回答对的概率分别是，根据题意，得

解得，；

(2).

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题型：填空题

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填空题

已知A、B是相互独立事件，且P(A)＝，P(B)＝，则P(A)＝________；P()＝________.

正确答案

P(A)＝，∴P()＝，

P()＝1－P(B)＝.

∵A、B相互独立，∴A与，与也相互独立，

∴P(A)＝P(A)·P()＝，

∴P()＝P()·P()＝.

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题型：简答题

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简答题

设A、B、C三个事件相互独立，事件A发生的概率是，A、B、C中只有一个发生的概率为，A、B、C中只有一个不发生的概率是。

（1）求事件B发生的概率及事件C发生的概率；

（2）试求A、B、C均不发生的概率。

正确答案

（1），或，；（2）.

本试题主要是考查了独立事件的概率的乘法公式的运用，以及都不发生，以及都发生，至少有一个发生此类问题的求解运用。

解：（1）设事件A、B、C发生的概率为x、y，

依题意有：

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题型：简答题

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简答题

一批产品需要进行质量检验，质检部门规定的检验方案是：先从这批产品中任取3件作检验，若3件产品都是合格品，则通过检验；若有2件产品是合格品，则再从这批产品中任取1件作检验，这1件产品是合格品才能通过检验；若少于2件合格品，则不能通过检验，也不再抽检. 假设这批产品的合格率为80%，且各件产品是否为合格品相互独立.

(1)求这批产品通过检验的概率；

(2)已知每件产品检验费为125元，并且所抽取的产品都要检验，记这批产品的检验费为元，求的概率分布及数学期望.

正确答案

（1）：；（2），，.

试题分析：（1）：这是一道概率题，根据题意通过的情况有两种可能，每种情形可看成一个相互独立事件，则可得概率为两者之和，即：；（2）中根据题意两种取值可能，即：，，再根据概率公式即可计算出数学期望值：.

（1）：； 5分

（2），

，

∴. 10分

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题型：简答题

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简答题

已知某种从太空飞船中带回的植物种子每粒成功发芽的概率都为,某植物研究所分两个小组分别独立开展该种子的发芽试验,每次试验种一粒种子,假定某次试验种子发芽,则称该次试验是成功的,如果种子没有发芽,则称该次试验是失败的.

(1)第一个小组做了三次试验,求至少两次试验成功的概率;

(2)第二个小组进行试验,到成功了4次为止,求在第四次成功之前共有三次失败,且恰有两次连续失败的概率.

正确答案

（1）（2）

(1)第一个小组做了三次试验,至少两次试验成功的概率是P(A)=·+=.

(2)第二个小组在第4次成功前,共进行了6次试验,其中三次成功三次失败,且恰有两次连续失败,其中各种可能的情况种数为=12.因此所求的概率为

P(B)=12×·=.

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