- 二项分布及其应用
- 共3448题
某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理。
（1）若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的函数解析式。
（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：
（i）假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花，求这100天的日利润（单位：元）的平均数；
（ii）若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率。
正确答案
解：（1）当日需求量n≥17时，利润y=85；
当日需求量n＜17时，利润y=10n-85；
∴利润y关于当天需求量n的函数解析式
（2）（i）这100天的日利润的平均数为
（ii）当天的利润不少于75元，当且仅当日需求量不少于16枝，故当天的利润不少于75元的概率为P=0.16+0.16+0.15+0.13+0.1=0.7。
在一个选拔项目中，每个选手都需要进行4轮考核，每轮考核都设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则被淘汰，已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为
（1）求该选手进入第三轮考核才被淘汰的概率；
（2）求该选手至多进入第三轮考核的概率；
（3）该选手在选拔过程中回答过的问题的个数记为X，求随机变量X的分布列和数学期望。
正确答案
解：设事件Ai（i=1，2，3，4）表示“该选手能正确回答第i轮问题”，
由已知得P（A1）=
（1）设事件B表示“该选手进入第三轮考核才被淘汰”
则
（2）设事件C表示“该选手至多进入第三轮考核”
则
（3）X的可能取值为1，2，3，4
所以X的分布列为
已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物。血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性即没患病。下面是两种化验方案：
方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止。
方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验，若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验。
（1）求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率；
（2）ξ表示依方案乙所需化验次数，求ξ的期望。
正确答案
解：记A1、A2分别表示依方案甲需化验1次、2次，B1、B2分别表示依方案乙需化验2次、3次，A表示依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数，依题意知A2与B2独立。
（1）
所以
（2）ξ的可能取值为2，3
所以
某大学开设甲、乙、丙三门选修课，学生是否选修哪门课互不影响。已知学生小张只选甲的概率为0.08，只选修甲和乙的概率是0.12，至少选修一门的概率是0.88，用ξ表示小张选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积。
（Ⅰ）求学生小张选修甲的概率；
（Ⅱ）记“函数f(x)=x2+ξx 为R上的偶函数”为事件A，求事件A的概率；
（Ⅲ）求ξ的分布列和数学期望。
正确答案
解：（Ⅰ）设学生小张选修甲、乙、丙的概率分别为x、y、z，
依题意得
所以学生小张选修甲的概率为0.4。
（Ⅱ）若函数
当ξ=0时，表示小张选修三门功课或三门功课都没选，
∴
∴事件A的概率为0.24。
（Ⅲ）依题意知ξ=0，2，
则ξ的分布列为
∴ξ的数学期望
某工厂师徒二人各加工相同型号的零件2个，是否加工出精品均互不影响。已知师父加工一个零件是精品的概率为
（1）求徒弟加工2个零件都是精品的概率；
（2）求徒弟加工该零件的精品数多于师父的概率；
（3）设师徒二人加工出的4个零件中精品个数为ξ，求：ξ的分布列与均值E（ξ）。
正确答案
解：（1）设徒弟加工1个零件是精品的概率为p1，
则
所以徒弟加工2个零件都是精品的概率是
（2）设徒弟加工零件的精品数多于师父的概率为p，
由（1）知，
师父加工2个零件中，精品个数的分布列如下：
徒弟加工2个零件中，精品个数的分布列如下：
所以
（3）ξ的分布列为
甲、乙两名跳高运动员一次试跳2米高度成功的概率分别为0.7、0.6，且每次试跳成功与否相互之间没有影响，求：
（Ⅰ）甲试跳三次，第三次才能成功的概率；
（Ⅱ）甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率；
（Ⅲ）甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率。
正确答案
解：记“甲第i次试跳成功”为事件Ai，“乙第i次试跳成功”为事件Bi，
依题意得P（A1）=0.7，P（B1）=0.6，且Ai，Bi（i=1，2，3）相互独立，
(Ⅰ)“甲第三次试跳才成功”为事件
∴
答：甲第三次试跳才成功的概率为0.063；
(Ⅱ)甲、乙两支在第一次试跳中至少有一人成功为事件C，
∴
=0.7×0.4+0.3×0.6+0.7×0.6=0.88，
答：甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率为0.88。
（Ⅲ）设“甲在两次试跳中成功i次”为事件Mi（i=0，1，2），
“乙在两次试跳中成功i次”为事件Ni(i=0，1，2)，
∵事件“甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次”可表示为M1N0+M2N1，
且M1N0、M2N1为互斥事件，
∴所求的概率为
=
答：甲、乙每人试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率为0.3024。
甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为
（Ⅰ）求乙投球的命中率p；
（Ⅱ）求甲投球2次，至少命中1次的概率；
（Ⅲ）若甲、乙两人各投球2次，求两人共命中2次的概率。
正确答案
解：（Ⅰ）设“甲投球一次命中”为事件A，“乙投球一次命中”为事件B，
由题意得
所以乙投球的命中率为
（Ⅱ）由题设和（Ⅰ）知
故甲投球2次至少命中1次的概率为
（Ⅲ）由题设和（Ⅰ）知，
甲、乙两人各投球2次，共命中2次有三种情况：甲、乙两人各中一次；甲中两次，乙两次均不中；甲两次均不中，乙中2次，
概率分别为
所以甲、乙两人各投两次，共命中2次的概率为
济南市有大明湖、趵突泉、千佛山、园博园4个旅游景点，一位客人游览这四个景点的概率分别是0.3，0.4，0.5，0.6，且客人是否游览哪个景点互不影响，设ξ表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值，
(1)求ξ=0对应的事件的概率；
(2)求ξ的分布列及数学期望．
正确答案
解：(1)分别记“客人游览大明湖景点”“客人游览趵突泉景点”“客人游览千佛山景点”“客人游览园博园景点”为事件A1，A2，A3，A4，
由已知A1，A2，A3，A4相互独立，且P(A1)=0.3，P(A2)=0.4，P(A3)=0.5，P(A4)=0.6，
客人游览景点数的可能取值为0，1，2，3，4，相应地，客人没有游览的景点数的可能取值为4，3，2，1，0，所以ξ的可能取值为0，2，4，
故
(2)
又P(ξ=0)=0.38，
故P(ξ=2)=1-P(ξ=0)-P(ξ=4)=0.5，
所以ξ的分布列为
所以Eξ=1.48。
甲、乙两个盒子里各放有标号为1，2，3，4的四个大小形状完全相同的小球，从甲盒中任取一小球，记下号码x后放入乙盒，再从乙盒中任取一小球，记下号码y，设随机变量X=|x-y|，
（1）求y=2的概率；
（2）求随机变量X的分布列及数学期望。
正确答案
解：（1）
（2）随机变量X可取的值为0，1，2，3，
当X=0时，
∴
当X=1时，
∴
同理可得
∴随机变量X的分布列为
∴随机变量X期望E（X）=1。
某项考试按科目A、科目B依次进行，只有当科目A成绩合格时，才可继续参加科目B的考试。已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证书。现某人参加这项考试，科目A每次考试成绩合格的概率均为
（1）求他不需要补考就可获得证书的概率；
（2）在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为ξ，求ξ的数学期望Eξ。
正确答案
解：设“科目A第一次考试合格”为事件A1，“科目A补考合格”为事件A2；“科目B第一次考试合格”为事件B1，“科目B补考合格”为事件B2。
（1）不需要补考就获得证书的事件为A1·B1，注意到A1与B1相互独立，根据相互独立事件同时发生的概率得
答：该考生不需要补考就获得证书的概率为
（2）由已知得，
故
答：该考生参加考试次数的数学期望为
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