- 二项分布及其应用
- 共3448题
某学校要对学生进行身体素质全面测试，对每位学生都要进行9选3考核（即共9项测试，随机选取3项），若全部合格，则颁发合格证；若不合格，则重新参加下期的9选3考核，直至合格为止，若学生小李抽到“引体向上”一项，则第一次参加考试合格的概率为
（1）求小李第一次考试即通过的概率；
（2）求小李参加考核的次数分布列。
正确答案
解: （1）=
（2） 由已知ξ可取1,2,3,4 ()=
(=2)=
P(=3)=
(=4)=
∴的分布列为
某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为
(Ⅰ)求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率；
(Ⅱ)求中奖人数ξ的分布列及数学期望Eξ。
正确答案
解：(Ⅰ)设甲、乙、丙中奖的事件分别为A、B、C，那么
答：甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率是
(Ⅱ)ξ的可能取值为0，1，2，3，
所以中奖人数ξ的分布列为
∴
高三第一学期期末四校联考数学第I卷中共有8道选择题，每道选择题有4个选项，其中只有一个是正确的；评分标准规定：“每题只选一项，答对得5分，不答或答错得0分．”某考生每道题都给出一个答案，已确定有5道题的答案是正确的，而其余选择题中，有1道题可判断出两个选项是错误的，有一道可以判断出一个选项是错误的，还有一道因不了解题意只能乱猜，试求出该考生：
（1）得40分的概率；
（2）得多少分的可能性最大？
（3）所得分数ξ的数学期望．
正确答案
解：（1）某考生要得40分，必须全部8题做对，其余3题中，有一道做对的概率为
∴所得40分的概率为
（2）依题意，该考生得分的范围为25，30，35，40
得25分做对了5题，其余3题都做错了，∴概率为
得30分是做对5题，其余3题只做对1题，∴概率为
得35分是做对5题，其余3题做对2题，∴概率为
得40分是做对8题，∴概率为
∴得30分的可能性最大
（3）由（2）得ξ的分布列为：
∴ξ的数学期望为
甲、乙、丙三人分别独立的进行某项技能测试，已知甲能通过测试的概率是
（Ⅰ）求乙、丙两人各自通过测试的概率分别是多少；
（Ⅱ）求测试结束后通过的人数ξ的数学期望Eξ。
正确答案
解：（Ⅰ）设乙、丙两人各自通过测试的概率分别是x、y，
依题意得：
所以乙、丙两人各自通过测试的概率分别是
（Ⅱ）因为
所以
一次围棋擂台赛，由一位职业围棋高手设擂做擂主，甲、乙、丙三位业余围棋高手攻擂．如果某一业余棋手获胜，或者擂主战胜全部业余棋手，则比赛结束．已知甲、乙、丙三人战胜擂主的概率分别为p1，p2，p3，每人能否战胜擂主是相互独立的．
（1）求这次擂主能成功守擂（即战胜三位攻擂者）的概率；
（2）若按甲、乙、丙顺序攻擂，这次擂台赛共进行了x次比赛，求x得数学期望；
（3）假定p3＜p2＜p1＜1，试分析以怎样的先后顺序出场，可使所需出场人员数的均值（数学期望）达到最小，并证明你的结论．
正确答案
解：（1）设擂主能成功守擂的事件为A，三人攻擂获胜的事件为Bi，i=1，2，3，
则P（Bi）=pi，
三人攻擂均失败的概率为（1﹣p1）（1﹣p2）（1﹣p3）．
所以，擂主守擂成功的概率是P（A）=（1﹣p1）（1﹣p2）（1﹣p3）
（2）比赛场数X=1，2，3．
X=1，比赛一场结束，则第一位业余棋手就获胜，其概率为P（X=1）=p1；
X=2，比赛二场结束，则第一位业余棋手攻擂失败，第二位胜利，其概率是P（X=2）
=（1﹣p1） p2；
X=3，比赛三场结束，则第一，二位业余棋手攻擂失败，其概率为
P（X=3）=（1﹣p1）（1﹣p2），
E（X）=p1+2（1﹣p1） p2+3（1﹣p1）（1﹣p2）=3﹣2p1﹣p2+p1p2．
（3）答按获胜概率从大到小的顺序出场，则所需出场人员数的均值为最小
下面证明以上结论．
设q1，q2，q3是p1，p2，p3的一个排列，如果按q1，q2，q3有顺序出场，
由（2）可得期望 E（X）=3﹣2q1﹣q2+q1q2．
因为△=（3﹣2q1﹣q2+q1q2）﹣（3﹣2p1﹣p2+p1p2）=2（p1﹣q1）+（p2﹣q2）+q1q2﹣p1p2=2（p1﹣q1）+（p2﹣q2）﹣（p1﹣q1）p2﹣（p2﹣q2）q1=（2﹣p2） （p1﹣q1）+
（p2﹣q2）（1﹣q1）≥（1﹣q1）（ p1﹣q1）+（p2﹣q2）（1﹣q1）
=（1﹣q1）[（p1+p2）﹣（q1+q2）]≥0．等号成立当且仅当q1=p1，q2=p2．
所以，按获胜概率从大到小的顺序出场，所需出场人员数的均值为最小．
甲、乙、丙三人进行象棋比赛，每两人比赛一场，共赛三场．每场比赛胜者得3分，负者得0分，没有平局，在每一场比赛中，甲胜乙的概率为
（1）求甲获第一名且丙获第二名的概率；
（2）设在该次比赛中，甲得分为ξ，求ξ的分布列和数学期望．
正确答案
解：（1）甲获第一，则甲胜乙且甲胜丙，
∴甲获第一的概率为
丙获第二，则丙胜乙，其概率为
∴甲获第一名且丙获第二名的概率为
（2）ξ可能取的值为0、3、6
甲两场比赛皆输的概率为P（ξ=0）=
甲两场只胜一场的概率为
甲两场皆胜的概率为
∴ ξ的分布列是
∴ξ的期望值是Eξ=
某工厂生产一种精密仪器，产品是否合格需先后经过两道相互独立的工序检查，且当第一道工序检查合格后才能进入到第二道工序，经长期检测发现，该仪器第一道工序检查合格的概率为
（Ⅰ）求生产一台合格仪器的概率；
（Ⅱ）用ξ表示每月生产合格仪器的台数，求ξ的分布列和数学期望；
（Ⅲ）若生产一台合格仪器可盈利10万元，不合格要亏损3万元，求该厂每月的期望盈利额。
正确答案
解：（Ⅰ）仪器合格意味着两道工序都检查合格，
因为两道检查工序相互独立，
所以一台合格仪器的概率为
（Ⅱ）ξ=0，1，2，3，
∴ξ的分布列为：
∴
（Ⅲ）该厂每月的盈利额为η，则η=-9，4，17，30，
由（Ⅱ）知η的分布列为：
∴
答：该厂每月的期望盈利额为22.2万元。
在一次考试中共有8道选择题，每道选择题都有4个选项，其中有且只有一个选项是正确的．评分标准规定：“每题只选一个选项，选对得5分，不选或选错得0分”．某考生已确定有4道题答案是正确的，其余题中：有两道只能分别判断2个选项是错误的，有一道仅能判断1个选项是错误的，还有一道因不理解题意只好乱猜，求：
（Ⅰ）该考生得40分的概率；
（Ⅱ）该考生得多少分的可能性最大？
（Ⅲ）该考生所得分数的数学期望．
正确答案
解：（1）设选对一道“可判断2个选项是错误的”题目为事件A，
“可判断1个选项是错误的”该题选对为事件B，“不能理解题意的”该题选对为事件C，
所以得40分的概率
（2）该考生得20分的概率
该考生得25分的概率：
=
该考生得30分的概率：
=
该考生得35分的概率：
=
∵
∴该考生得25分或30分的可能性最大；
（3）该考生所得分数的数学期望
某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列为
商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元，η表示经销一件该商品的利润，
（Ⅰ）求事件A：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P（A）；
（Ⅱ）求η的分布列及期望Eη。
正确答案
解：（Ⅰ）由A表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”，
知
（Ⅱ）η的可能取值为200元，250元，300元，
η的分布列为
小明参加一次智力问答比赛，比赛共设三关，第一、二关各有两个问题，两个问题全答对，可进入下一关．第三关有三个问题，只要答对其中两个问题，则闯关成功．每过一关可一次性获得价值分别为100、300、500元奖品的奖励，小明对三关中每个问题回答正确的概率依次为
(1)求小明过第一关但未过第二关的概率；
(2)用ξ表示小明所获得奖品的价值，求ξ的分布列和期望．
正确答案
解：(1)
(2)ξ=0，100，400，900，
可得ξ的分布列
∴
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